Trudna całka robi: zad. Oblicz całkę : S √tg²x+2 dx

robi: Pomoze ktos ?

Trivial: Czy na pewno 2, a nie 1? Obie da się rozwiązać, ale jeśli jest tam 2, to zdecydowanie więcej pracy.

robi: jest tam 2 słyszałem ze ta całka jest bardzo pracochlonna,pomoze ktos ?

Trivial: ∫√tg²x+2dx Zauważmy, że jeżeli byłoby tg²x+1, to mielibyśmy prostą i trywialną całkę, więc będziemy do

	π		π
takiej formy dążyć. Najpierw ograniczymy rozważany przedział x do (−		,		). Całki z
	2		2

innych przedziałów dadzą się w prosty sposób sprowadzić do tego przedziału. Będzie to potrzebne później. Najpierw wykorzystamy podstawienie tgx = √2tgu x = arctg(√2tgu)

	1	√2
dx =			du
	1+2tg2u	cos2u

	√2
=		du
	cos2u + 2sin2u

	√2
=		du.
	1+sin2u

Podstawiamy...

	√2
∫√tg2x+2dx = ∫√2tg2u+2		du
	1+sin2u

	√tg2u+1
= 2∫		du.
	1+sin2u

Zauważmy, że

	sin2u		cos2u		1
tg2u+1 =		+		=		.
	cos2u		cos2u		cos2u

	π		π
Zauważmy również, że skoro x ∊ (−		,		), to u także należy do tego przedziału. W
	2		2

przedziale tym cosu jest funkcją dodatnią, więc |cosu| = cosu, co za chwilę wykorzystamy. Zatem

	1		1		1
√tg2u+1 =		=		=		.
	√cos2u		|cosu|		cosu

Zatem

	1   cosu
∫√tg2x+2dx = 2∫		du
	1+sin2u

	cosu
= 2∫		du
	cos2u+sin2ucos2u

	cosu
= 2∫		du
	(1−sin2u)+sin2u(1−sin2u)

	cosu
= 2∫		du.
	1−sin4u

Podstawiając s = sinu otrzymujemy

	1
∫√tg2x+2dx = 2∫		ds
	1−s4

	1
= 2∫		ds
	(1−s2)(1+s2)

	1		1
= ∫(		+		)ds
	1−s2		1+s2

	1		1
= ∫(		+		)ds
	(1−s)(1+s)		1+s2

	1     2		1     2		1
= ∫(		+		+		)ds
	1−s		1+s		1+s2

	1		1
= −		ln|1−s| +		ln|1+s| + arctgs2 + c
	2		2

	1		1+s
=		ln|		| + arctgs2 + c.
	2		1−s

No i teraz trzeba powrócić do x. Dobrej zabawy.

Man in black: A co z najciekawszym fragmentem? x∉(−π/2,π/2) ?

Trivial:

	π		π		π
Jak to co? Wtedy podstawiamy x = z + k*		dobierając tak k, żeby z∊(−		,		)
	2		2		2

Man in black:

	π		π
... pamiętając, że na każdym z przedziałów (−		+kπ,		+kπ) mamy inną stałą
	2		2

całkowania. Z całką ∫√1−sin²xdx nie byłoby, aż tak prosto

Trivial:

	π
Tam powinno być oczywiście x = z + kπ, za dużo tego		pisałem i się przyzwyczaiłem.
	2

Trivial: W ogóle całką to można chyba zabić! Strach pomyśleć co by było, gdybyśmy mieli √tg²x+3! Za późno, już pomyślałem. W sumie to analogicznie.

robi: dzięki Trivial i szacunek