Dobre rozwiązania?
Mata:P: Mam dla was prośbe, mam zadania na poprawe semestru. Mam je wszystkie rozwiązane i chciałbym
aby ktoś sprawdził czy aby wszystko jest dobrze zrobione, bo chce mieć pewność że wszystko
jest dobrze
Zadanie 1:
Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
a)A=(8,3) B=(0,4)
b)A=(5,−2) B=(5,3)
c)A=(2,−3) B=(5,−3)
Rozwiązania:
a)A=(8,3) B=(0,4)
y=ax + b
3=8a+b
4=b
3=8a + 4
−8a=4−3
−8a=1 / : (−8)
a= −1/8
b = 4
y= −1/8 + 4
b)A=(5,−2) B=(5,3)
y=ax+b
−2 = 5a+b / *(−1)
3=5a + b
2= −5a – b
3= 5a + b
5=0
równanie sprzeczne, brak prostej
c)A=(2,−3) B=(5,−3)
y= ax+b
−3 = 2a + b / *(−1)
−3 = 5a + b
3= −2a – b
−3= 5a + b
3a=0 / :3
a=0
−3=2+b
−3+2=b
b=−1
a=0
y= x−1
Zadanie 2:
Znajdź współczynniki kierunkowe prostych:
a) −3x + y – 2 = 0
b )x + 3y − 1 = 0
c) −4x + 3y + 5 = 0
d) 1/2x + 1/5y = 1
Rozwiązania
a) −3x + y – 2 = 0
y= 3x+2
współczynnik kierunkowy = 3
b )x + 3y − 1 = 0
3y= −x+1 / :3
y= −1/3x+1/3
współczynnik kierunkowy = −1/3
c) −4x + 3y + 5 = 0
3y= 4x−5 / :3
y= 4/3x – 5/3
współczynnik kierunkowy = 4/3
d) 1/2x + 1/5y = 1
1/5y= −1/2x+1 / *5
y= −5/2x+5
współczynnik kierunkowy = −5/2
Zadanie 3:
Napisz równanie prostej równoległej do prostej l, przechodzącej przez punkt P, jeśli
a)l: 2x – 7y + 4 = 0 P=(−1,−5)
b)l: y = −5x + 2 P=(2,−3)
c)l: y = 1/2x – 2 P=(4,0)
d)l: −2x + 7y + 1 = 0 P=(3,3)
Rozwiązania
a)l: 2x – 7y + 4 = 0 P=(−1,−5)
−7y = −2x−4 / : (−7)
y=2/7x + 4/7
a= 2/7
f(x)=ax+b
f(−1)=2/7*(−1)+b
f(−1)= −2/7+b
−2/7+b= −5
b= −5+2/7
b= −4 i 5/7 (minus cztery i pięć siódmych
)
a=2/7
y=2/7x – 4 i 5/7
b)l: y = −5x + 2 P=(2,−3)
a= −5
f(x)=ax+b
f(2)=−10+b
−10+b= −3
b= −3+10
b=7
a=−5
y= −5x+7
c)l: y = 1/2x – 2 P=(4,0)
a=1/2
f(4)=1/2*4+b
f(4)=2+b
2+b=0
b=−2
a=1/2
y=1/2 – 2
d)l: −2x + 7y + 1 = 0 P=(3,3)
7y=2x−1 / :7
y=2/7x – 1/7
a=2/7
f(3)=2/7*3+b
f(3)=6/7+b
6/7+b = 3
b=3 – 6/7
b=2 i 1/7
a=2/7
y= 2/7x + 2 i 1/7
Zadanie 4:
Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej l, przechodzącej przez punkt P, jeśli
a)l: 2x – 3 P=(4,−1)
b)l: x – 3y + 4 = 0 P=(1,1)
c)l: y = 2/5x – 1 P=(10,3)
d)l: 2x + 7y – 1 = 0 P=(2,−2)
Rozwiązania
a)l: 2x – 3 P=(4,−1)
a= −1/2
f(4)=−1/2*4+b
f(4)=−2+b
−2+b = −1
b= −1+2
b=1
a= −1/2
y= −1/2x + 1
b)l: x – 3y + 4 = 0 P=(1,1)
−3y= −x−4 / : (−3)
y= 1/3x + 4/3
a= −3
f(1)= −3+b
−3+b=1
b=4
a= −3
y= −3x+4
c)l: y = 2/5x – 1 P=(10,3)
a= −5/2
f(10)= −5/2*10+b
f(10)= −25+b
−25+b = 3
b= 3+25
b=28
a= −5/2
y= −5/2x + 28
d)l: 2x + 7y – 1 = 0 P=(2,−2)
7y= −2x + 1 / :7
y= −2/7x + 1/7
a= 7/2
f(2)= 7/2*2+b
f(2)=7+b
7+b = −2
b= −9
a= 7/2
y= 7/2x – 9
Zadanie 5:
Oblicz obwód trójkąta o wierzchołku:
a)A=(−2,0), B=(−1,2), C=(2,−4)
b)A=(2,2), B=(4,−1), C=(6,2)
c)A=(−3,2), B=(−1,4), C=(2,0)
Rozwiązania
a)A=(−2,0), B=(−1,2), C=(2,−4)
|AB|=
√(Xb−Xa)2+(Yb−Ya)2
|AB|=
√(−1+2)2+(2−0)2
|AB|=
√1+4
|AB|=
√5
|AC|=
√(Xc−Xa)2+(Yc−Ya)2
|AC|=
√(2+2)2+(−4−0)2
|AC|=
√16+16
|AC|=
√32
|BC|=
√(Xc−Xb)2+(Yc−Yb)2
|BC|=
√(2+1)2+(−4+2)2
|BC|=
√9+4
|BC|=
√13
Obw |ABC|=
√5+
√32+{13}
Obw |ABC|=
√50
(Dobre są te wzory dla tego zadania?)
b)A=(2,2), B=(4,−1), C=(6,2)
|AB|=
√(4−2)2+(−1+2)2
|AB|=
√4+1
|AB|=
√5
|AC|=
√(6−2)2+(2−2)2
|AC|=
√16
|AC|=4
|BC|=
√(6−4)2+(2+1)2
|BC|=
√4+9
|BC|=
√13
Obw |ABC|=
√5+
√13+4
Obw |ABC|= 4
√18
c)A=(−3,2), B=(−1,4), C=(2,0)
|AB|=
√(−1+3)2+(4−2)2
|AB|=
√4+4
|AB|=
√8
|AC|=
√(2+3)2+(0−2)2
|AC|=
√25+4
|AC|=
√29
|BC|=
√(2+1)2+(0−4)2
|BC|=
√9+16
|BC|=
√25
|BC|=
√5
Zadanie 6:
Znajdź równanie symetralnej odcinka AB
a)A=(5,−1), B=(−3,3)
b)A=(3,−2), B=(−1,6)
Rozwiązania
a)A=(5,−1), B=(−3,3)
y=ax+b
−1=5a+b
3=−3a+b / *(−1)
−1=5a+b
−3=3a−b
−4=8a / :8
a= −1/2
−3=3*(−1/2)−b
−3= −3/2−b
−3+3/2= −b
−1 i 1/2 = −b /*(−1)
b= 1 i 1/2
S=(x,y)
x=1 ; y=1
S=(1,1)
a=−1/2 czyli 2
y=ax + b
b= −1
y=2x – 1
b)A=(3,−2), B=(−1,6)
y=ax + b
−2 = 3a + b
6= −1a + b /*(−1)
−2= 3a + b
−6 = 1a – b
−8 = 4a / : 4
a= −2 czyli 1/2
S=(x,y)
x=1 ; y=2
S=(1,2)
2= 1/2*1+b
2=1/2+b
2 – 1/2 = b
b=1 i 1/2
y=1/2x + 1 i 1/2
Zadanie 7:
Podaj środek i promień okręgu o równaniu
a) (x−5)
2 + (y−3)
2 = 36
b) x2 + (y+7)
2 = 3/4
c) x2 + y2 – 4x = 21
d) x2 + y2 + 6x – 10y + 30 = 0
Rozwiązania
a) (x−5)
2 + (y−3)
2 = 36
S=(5,3)
r=6
b) x2 + (y+7)
2 = 3/4
S=(0, −7)
r=
√3/2 (pierwiastek trzy przed dwa)
c) x2 + y2 – 4x = 21
S=(4,0)
r=
√21
d) x2 + y2 + 6x – 10y + 30 = 0
x
2+y
2−2ax−2by+c = 0
−2a=6 / : (−2)
a= −3
r
2=
√a2+b2−c
r
2=
√36−30
r
2=
√6
r=6
−2b= −10 / : (−2)
b=5
c=30
S=(−3,5)
r=6
