równania różniczkowe malwina: Oblicz równanie różniczkowe: y'= 2xy − xy² Proszę o pomoc. Chyba powinnam to liczyć metodą o rozdzielnych zmiennych

Trivial: Równanie Bernoulliego. y' = 2xy − xy² → y == 0 jest rozwiązaniem. Podzielmy obustronnie przez y² y⁻²y' = 2xy⁻¹ − x Podstawienie z = y⁻¹, z' = −y⁻²y' −z' = 2xz − x z' = −2xz + x z_j = Ce^∫−2xdx = Ce^−x2.

	1
zs =		(widać).
	2

	1
z =		+ Ce−x2
	2

	1
Ale z = y−1 =		, zatem
	y

	1
y =		lub y = 0. C∊R
	1   +Ce−x2 2

Trivial: W sumie można i rozdzielonymi. y' = x(2y−y²)

	dy
∫		= ∫xdx lub y == 0
	2y−y2

	dy		dy		1		1		1
∫		= ∫		=		∫(		+		)dy =
	2y−y2		y(2−y)		2		y		2−y

	1		1		y
=		(ln|y| − ln|2−y|) + k =		ln|		| + k.
	2		2		2−y

1		y		x2
	ln|		| =		+ c1
2		2−y		2

	y
ln|		| = x2 + c2
	2−y

y
	= c3ex2, c3∊R (dołączyliśmy także y=0)
2−y

y = c₃e^x2(2−y) y(1+c₃e^x2) = 2c₃e^x2

	2c3ex2
y =
	1+c3ex2

Trivial: Jeszcze zapomniałem o założeniu y≠2, a funkcja y=2 spełnia równanie, więc trzeba ją na końcu dołączyć.

malwina: dziękuję serdecznie

malwina:

	y		y
y'=		− {		}2
	x		x

	y
z=
	x

y' = z'x − z z'x − z = z − z² z'x= −z² / : x

dz		1
	= −z2 *		/ : (−z2)
dx		x

	1		dz		1
−		*		=		/ * dx
	z2		dx		x

	dz		dx
−		=
	z2		x

−ln(z²}= ln (x) Bardzo proszę o zerknięcie czy dobrze to zrobiłam. z Góry dziękuję

Trivial: Dwa razy robisz błąd (podejrzewam literówkę), ale o tyle szczęśliwie, że potem jest OK. y' = z'x + z z'x + z = z − z² I teraz można zredukować z. W Twoim rozwiązaniu nie można (ale i tak to zrobiłaś ). No i jest też błąd pod samym końcem.

	dz		dx
−		=
	z2		x

1
	= ln|x| + k ← nie zapominamy o stałej!
z

	1
z =		. k∊R
	ln|x| + k

Jeszcze trzeba powrócić do zmiennej y.

y		1
	=		. k∊R
x		ln|x| + k

	x
y =		. k∊R
	ln|x| + k