maksimum i minimum funkcji ??????? czarna: f(x,y)=3x²y−6xy+y³

Aga1: Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f^'_x(x,y)=6xy−6y=6y(x−1) f^'_y(x,y)=3x²−6x+3y²=3(x²−2x+y²) Rozwiązujemy układ równań 6y(x−1)=0 //:6 3(x²−2x+y²)=0 //:3 y=0 lub x−1=0 x²−2x+y²=0 x²−2x+y²=0 x=0 i y=0 lub y=0 i x=2 lub x=1 i y=1 lub x=1 i y=−1 Punkty (0,0), (2,0) , (1,1), (1,−1)są punktami, w których mogą , ale nie muszą wystąpić ekstrema lokalne.

Aga1: Teraz drugie pochodne f^'_xx(x,y)=6y, f^"_xy=6(x−1) f^'_yy=6y Wyróżnik funkcji D(x,y)=[f^"_xy]²−f^'_xx*f^"_yy(x,y)=36(x−1)²−36y²=36((x−1)²−y²) W (0,0) D(0,0)=36>0 Odp. w( 0,0) funkcja nie posiada ekstremum lokalnego. W (2,0) D(2,0)=36>0 odp. podobna. W (1,1)=−36. W (1,1) jest ekstremum f^"_xx(1,1)==6>0 Odp. w (1,1)występuje minimum lokalne i wynosi f_min=3−6+1=−2 Pozostało sprawdzić co się dzieje w (1,−1)

czarna: dzięki