Wykaż,że wartość wyrażenia wymiernego jest większa od 1
Wujek_Paweł: Witam mam problem z zadankiem:
| | a3+b3 | |
Wykaż, że dla dowolnych liczb ujemnych a,b wartość wyrażenia |
| jest |
| | a2 b+ab2 | |
większa od 1.
Robiłem tak:
a
3+b
3=a
2b+ab
2
(a+b)(a
2−ab+b
2)=ab(a+b)/ : (a+b)
a
2−ab+b
2=ab
Podejrzewam, że odtąd jest źle:
a
2+b
2=2ab/ : (−1)
− (a−b)(a+b)= −2ab/ : (−1)
(a−b)(a+b)= 2ab
Jak to zrobić?
19 lut 20:36
Hurwitz : Drobiazg, ale skoro dla ujemnych to i dla dodatnich...
19 lut 20:38
Hurwitz : Więc wystarczy dla dodatnich rozwiązać.
19 lut 20:38
Hurwitz : ... =(a+b)(a2−ab+b2)/(ab(a+b)) = (a2−ab+b2)ab≥abab=1
19 lut 20:40
Hurwitz : Może być równe 1 (a=b), więc nierówność słaba.
19 lut 20:41
Wujek_Paweł: Możesz mi jeszcze wytłumaczyć tę końcówkę? Ostatnia nierówność.
19 lut 20:45
Hurwitz : (a−b)2=a2−2ab+b2≥0 czyli a2−ab+b2≥ab
19 lut 20:47
Wujek_Paweł: Wielkie dzięki, teraz wszystko rozumiem. A to co odwaliłem z minusami w trzech ostatnich
linijkach to jest w ogóle w matematyce dopuszczalne?
19 lut 20:50
Hurwitz : Nie.
19 lut 20:57
pigor: ... otóż z warunków zadania a<0 i b<0 ⇒
a+b<0 i ab>0 , no to
niech
| a3+b3 | | (a+b)(a2−ab+b2) | | a2−ab+b2 | |
| >1 ⇔ |
| >1 ⇔ |
| >1 /*ab ⇔ |
| a2b+ab2 | | ab(a+b) | | ab | |
a
2−ab+b
2 >ab ⇔ a
2−2ab+b
2 >0 ⇔
(a−b)2 >0 . ...
19 lut 21:00