SZEREG Miś: ∞

	n+1
∑
	√n3+1

n=1 Wyszło mi że jest rozbieżny na mocy kryterium ilorazowego Czy to prawda jest?

Pan lodu i śniegu:

n+1		n+1
	=
√n3+1		n√n+1

	n+1   √n3+1
limn→∞		= 1 ∊ (0,+∞)
	1     √n

	1
oraz szereg		jest rozbieżny, zatem szereg ... rozbieżny.
	√n

Miś: dzięki Ci o Panie a gdyby granica jednego przez drugie nie zawierała się w przedziale (0;+∞) to co wtedy?

Pan lodu i śniegu: Wtedy kryterium ilorazowe działa tylko połowicznie. Mogą być tylko dwie sytuacje inne niż ten przedział (to kryterium jest do badania szeregów, których wyrazy są dodatnie). Rozpiszę przypadki.

	an
Liczymy granicę limn→∞		= k. W zależności od k mamy:
	bn

1. k ∊ (0, +∞) ⇒ ∑a_n i ∑b_n są równocześnie zbieżne albo równocześnie rozbieżne. 2. k = 0 ⇒ jeżeli ∑b_n jest zbieżny, to i ∑a_n jest zbieżny. 2. k = +∞ ⇒ jeżeli ∑a_n jest zbieżny, to i ∑b_n jest zbieżny.

Miś: no to jak k=+∞ a liczymy zbieżność b_n i wychodzi że jest zbieżny to znaczy że a_n jest nie koniecznie zbieżny?

Pan lodu i śniegu: Tak.