lim x->0 ctg5x/ctgx damian: Witam, mam problem z obliczeniem granicy lim x−>0 ctg5x/ctgx wynik to 1/5 ale nie mogę do niego dojść. Reguła De L'Hospitala.

Pan lodu i śniegu: Na taki przykład nie ma wytaczać takich dział jak reguła de l'Hospitala. x→0:

	ctg5x		cos5x	sinx		sinx   x		1
lim		= lim			= lim		=
	ctgx		cosx	sin5x		sin5x   5   5x		5

→ 1

damian: Na taki przykład nie ma wytaczać takich dział jak reguła de l'Hospitala. yyyy nie zrozumiałem

Pan lodu i śniegu: Mnie mówić Yeti uczył.

Pan lodu i śniegu: zabrakło 'co' w środku. nie ma co wytaczać

damian: Mógłbyś jeszcze wytłumaczyć jak to obliczyłeś ? Robiłem zadania domowe z kursu etrapez i to mnie kompletnie zaktało.

Mariusz1234: http://www.etrapez.pl/blog/granice-funkcji-sinxx-dowod/ Nie wszystko trzeba na siłę liczyć.

damian: Dalej nie wiem skąd się co wzięło.

Pan lodu i śniegu: Najpierw wykorzystałem fakt, że

	cosx
ctgx =
	sinx

oraz

	cos5x
ctg5x =
	sin5x

co po wykonaniu działań daje

	ctg5x		cos5x   sin5x		cos5x	sinx
		=		=			.
	ctgx		cosx   sinx		cosx	sin5x

	cos5x
Dalej, gdy x→0, wyrażenie		→1, więc możemy je pominąć (mnożenie przez 1 nie
	cosx

zmienia wartości wyrażenia). Zatem

	ctg5x		sinx
g = limx→0		= limx→0		.
	ctgx		sin5x

Dalej, podciągamy pod wzór

	sinx
limx→0		= 1.
	x

Możemy to łatwo zrobić dzieląc licznik i mianownik przez x, oraz dodatkowo mnożąc mianownik

	5
przez		= 1 (nie zmienia wartości wyrażenia).
	5

	sinx     x		1		1
g = limx→0		=		=		.
	sin5x   5   5x		5*1		5

damian: Teraz to mi wyjaśniłeś. Dziękuję.