iindukcja matematyczna hashiri: Witam, bardzo proszę o szczegółową pomoc ZAD Udowodni indukcja matematyczną, ze dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁴ + 2n³ + n² jest podzielna przez 4 Bardzo proszę o jak najszybszą pomoc.

Hurwitz : Ta liczba to n²(n+1)² więc aż żal po taką armatę jak indukcja sięgać...

A ku ku:

hashiri: Tylko jak to wykazać, ze to jest podzielne przez 4

hashiri: Proszę pomóżcie

Aga1: n*n*(n+1)(n+1) n, n+1, to kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich na pewno jest podzielna przez 2, a iloczyn dwóch liczb podzielnych przez 2 jest podzielny przez 4.

hashiri: Ok dzięki

AS: Dowód przez indukcję Krok 1 n = 1 , 1⁴ + 2*1³ + 1² = 4 , liczba podzielna przez 4 Krok 2 n = k k⁴ + 2*k³ + k² Krok 3 n = k + 1 (k + 1)⁴ + 2*(k + 1)³ + (k + 1)² = (k + 1)²*[(k + 1)² + 2*(k + 1) + 1] = (k + 1)²*[k² + 2*k + 1 + 2*k + 2 + 1] = (k + 1)²*(k² + 4*k + 4) = (k + 1)²*(k + 2)² = [(k + 1)*(k + 2)]² Dla dowolnego k jedna z liczb k + 1 , k + 2 jest parzysta, a więc podzielna przez 2 Kwadrat tej liczby musi być podzielny przez 4 c.n.d.

AS: Oczywiście k należy do N