Analiza matematyczna Robercik: Cześć. Mam takie zadania, których się muszę nauczyć na sobotę, jednak trochę zaniedbałem naukę + dużo pilnych pierdół na głowie i jestem zielony w tej materii. Anyways: 1. Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji: f(x)=6x² − 7x i g(x)=3x² + 5x (tu doszedłem do momentu, że granicą całkowania będzie x=0 lub x=4 i nie wiem, co dalej) 2. Obliczyć objętość bryły, która powstaje przez obrót wykresu funkcji: f(x)=√lnx dookoła osi ox dla x∊[1,4] 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = 12 xy −2x³ −6y² określonej dla (x,y)∊R² 4. Rozwiązać równanie różniczkowe x" − 4x' − 12x=0 z warunkiem początkowym x(0)=1 x'(0)=6 Oczywiście sam będę kombinował, ale... PS: Za krótkie opisy co i jak robić, stawiam piwko.

Krzysiek: 1)http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7By%3D6x%5E2+-7x+%2C+y%3D3x%5E2+%2B5x+%7D jak widać z rysunku, y=3x² +5x , jest nad tą drugą funkcją w tym przedziale więc masz do policzenia: ∫₀⁴ (3x² +5x)−(6x² −7x) dx 2) poszukaj potrzebnego wzoru 3) http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny 4) x=x(t) masz równanie liniowe jednorodne 2 rzędu, równanie charakterystyczne to: r² −4r −12=0 rozwiązanie tego równania kwadratowego to: r₁ , r₂ (znajdź je) rozwiązanie równania liniowo jednorodnego ma postać: x=c₁ x₁ +c₂ x₂ gdzie, c₁ , c₂ to stałe x₁ =e^{r₁ t} x₂ =e^{r₂ t}

Robercik: eeee... okej To jak z tą całeczką pojechać?

Krzysiek: którą? 1) zadanie? przecież to podstawowa całka z wielomianu... https://matematykaszkolna.pl/strona/2110.html

Robercik: Czyli to będzie ∫−3x² + 12x ?

Krzysiek: no tak, tylko to masz całkę nieoznaczoną,

Robercik: Ok, sprawdziłem na kalkulatorze ONLINE i tak, dobrze mi wychodzi. Ostateczny wynik to −(x−6)x² Tylko jak do tego dojść? : D Skąd to się wzięło, z którego wzoru?

Krzysiek: korzystasz z tego,że całka sumy to suma całek czyli: ∫−3x² +12x dx =∫−3x² dx +∫12xdx i stałą można wyłączyć przed całkę i skorzystaj ze wzoru: ∫x^a dx =...

Robercik: Tak...?

	x3
∫−3x2dx=−3∫x2dx=−3		=−x3
	3

	x2
∫12xdx=12∫xdx=12		=6x2
	2

Zatem wynik z : ∫0⁴ (3x² +5x)−(6x² −7x) dx = x²(−x+6) Si?

Krzysiek: tak tylko to masz całkę nieoznaczoną. ∫₀⁴ (3x² +5x)−(6x² −7x) dx =x² (−x+6) |₀⁴ =4² (−4+6) −(0² (−0+6)) =32

Robercik: Ok, teraz co robię źle w zadaniu drugim, bo wychodzi mi tak: V = π ∫0⁴ lnx ? Doszedłem do tego z tego wzoru: V=π∫a^b f(x)²dx dla x∊<a.b> BTW: Co to lnx?

Krzysiek: ln −logarytm naturalny, logarytm o podstawie e. najpierw oblicz całkę nieoznaczoną: ∫lnx dx przez części: https://matematykaszkolna.pl/strona/2294.html a potem oblicz oznaczoną

Robercik: Czyli tak, mam zadanie: f(x)=√lnx i x∊[1,4] czyli: ∫lnxdx = xlnx − x a co do całki oznaczonej ∫₁⁴ ? Coś źle kombinuje, tylko co? −₋

Krzysiek: a wiesz co to jest całka oznaczona? ∫f(x) dx =F(x)+c ∫_a^b f(x) dx =F(b)−F(a)

Robercik: Nie rozumiem. Doszedłem do tego momentu: ∫₁⁴ i co mam zrobić dalej? V = π ∫₁⁴ f(x)²dx Potem za f(x)² podstawiam √lnx czyli V = π ∫₁⁴ lnx dx V = π ln(4) − ln (1) V = π 1.38629436 − 0 Objętość wynosi 1.38629436π

Krzysiek: ∫lnx dx =xlnx−x czyli ∫₁⁴ lnxdx =4ln4−4 −(1ln1 −1) =4ln4−3

Robercik: Więc V to będzie π 4ln4−3 A czemu: 4ln4 − 4 − 1ln1 +1 = 4ln4−3? Nie powinno się odjąć: 4ln4−1ln1? BOŻE jakie ja mam braki, jak mi wstyd

Krzysiek: ln1=0

Robercik: To wiem. A tak poza zadaniami, gdybyśmy mieli: 4ln1, to jaki byłby wynik? 4x0=0? Albo 28424ln1=28424x0=0? OK, lecimy zadanie 3. f(x,y) = 12xy − 2x³ − 6y² Obliczamy pochodne, czyli: f = 12xy <=> f'_x = 12y f = 12xy <=> f'_y = 12x g = −2x³ <=> g' = −6x² h = −6y² <=> h' = −12y Dobrze do tej pory? Co dalej?

Krzysiek: no tak, wszystko pomnożone przez zero daje zero... f_x =12y−6x² f_y =12x −12y porównujesz do zera czyli: 12y−6x² =0 12x −12y =0 czyli x=y 12x−6x² =0 6x(2−x)=0 więc x=0 lub x=2 czyli mamy dwa punkty krytyczne: (0,0),(2,2) teraz policz pochodne drugiego rzędu w tych punktach

Robercik: Wyznaję zasadę, że lepiej zrobić z siebie durnia i mieć 100% pewność, niż żyć w niepewności i zastanawiać się nad pierdołami. Czyli dobrze kombinowałem na kartce, ale bałem się, że mnie wyśmiejesz (dokładnie liczyłem tak, jak napisałeś ) Co do pochodnej drugiego rzędu − nie mam pojęcia.

Krzysiek: f_xx −pochodna po x z f_x czyli: f_xx =−12x f_xy −pochodna po y z f_x f_xy =12 policz Sam: f_yx, f_yy potem policz 2 wyznaczniki (dla dwóch punktów) i sprawdź czy jest to min, czy max

Robercik: Ok no to f_y to jest: 12x Więc pochodna z 12x po x to będzie 12y? Jak się liczy takie pochodne? Mam tablice wzorów, ale to jest tak proste, że tam tego nie umieścili −₋

Krzysiek: f_y =12x −12y jak masz: 12x−12y i liczysz pochodną po x , to y traktujesz jako stałą, więc pochodna ze stałej to zero. f_yy =−12 f_yx =12

Robercik: Rozumiem! Chyba. ;x Ok, co dalej. Mam wyznaczyć ekstrema, czyli znaleźć minimum i maksimum?

Krzysiek: popatrz na ten link z wikipedii i policz 2 wyznaczniki dla punktu (0,0) i dla punktu (2,2) i w zależności jakie δ tobie wyjdzie (patrz punkt 3) wyjdzie Tobie min lub max

Robercik: Ale nie ogarniam, jak to podstawić? Jak to obliczyć? δ(x_o,y₀)=f"_xx(x₀,y₀)f"_yy(x₀,y₀) − (f"_xy(x₀,y₀))² No i tu zamiast f"_xx podstawiam to, co wcześniej wyliczyłeś/wyliczyłem? To będzie 12x(x₀,y₀)−12(x₀,y₀) − (12(x₀,y₀)²? Jaki ja tępy jestem, omg O_O

Krzysiek: pisałem dla dwóch punktów, czyli,dla pierwszego punktu mamy: x₀ =0 y₀ =0 czyli: δ(0,0)=−12*0 *(−12) −12*12 =−12² <0 więc w tym punkcie nie ma ekstremum δ(2,2) =−12*2 *(−12)−12² =12² >0 f_xx <0 czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne

Robercik: A mógłbyś to rozpisać bardziej? Bo nie rozumiem, czemu tylko raz podstawiasz to 0 w pierwszym przykładzie i czemu tylko raz 2 w drugim przykładzie? Nie wiem, skąd to się wzięło szczerze mówiąc. (swoją drogą to ani jednych ćwiczeń nie ominąłem, a i tak nie mam nigdzie niczego takiego w zeszycie )

Krzysiek: bo tylko tam mamy zmienną: 'x' , a dla np. f_xy mamy 12, więc nie zależnie od punktu to i tak to będzie równe 12...

Robercik: OMG racja Ślepy jestem, przecież to takie oczywiste Dobra, a różniczki. Powiedz co mam zrobić: x"−4x'−12=0 warunek początkowy: x(0)=1 x'(0)=6

Krzysiek: napisałem w pierwszym poście, najpierw rozwiąż równanie liniowe jednorodne (praktycznie tam już masz rozwiązane) Oczywiście zachodzą różne przepadki dla równania charakterystycznego, ponieważ: Δ> 0 , Δ=0 ,Δ<0 Akurat u Ciebie, zachodzi 1 przypadek, dlatego x₁ ,x₂ jest takie a nie inne.

Robercik: A mógłbyś tu napisać krok po kroku rozwiązanie tego? Mam w kajecie trochę notatek z innych przykładów, więc przyrównam sobie i zrobię jakieś inne zadanie, jak zrozumiem zasadę działania. :x

Krzysiek: obliczyłeś x ? Przecież wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe z r, i wstawić do x₁ ,x₂ a to wstawić do x..

Robercik: Nie rozwiązałem, bo nie potrafię.

Krzysiek: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/%C4%86wiczenia_14:_Przegl%C4%85d_metod_ca%C5%82kowania_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych_zwyczajnych Musisz poszukać w książkach jak się takie równania rozwiązuje.., ja praktycznie rozw. równanie liniowego jednorodnego Tobie napisałem...

Robercik: Z pomocą ludzi z roku rozwiązałem to. r² − 4r − 12 = 0, z tego rozpykana delta, r₁=−2, r₂=6 CORJ: x(t)=c₁*e^−2t + c₂ *e^6t x'(t) = −2c₁ * e^−2t = 6c₂ * e^6t Potem podstawiam pod początkowe warunki, więc: x(0)= c₁*e⁰ + c₂*e⁰ = 1 => c₁ + c₂=1 x'(0)=−2c₁*e⁰ + 6c₂ * e⁰ = 6 => −2c₁ + 6c₂ = 6 Z c₁ i c₂ tworzę układ równań, który daje mi: C₁=5 C₂=−4 Zatem CSRJ: x(t)=5*e^−2t − 4e^6t

Rafik: Potrzebuje pomocy rownanie rozniczkowe x"+4x'+3x=0 x(0)=0 x'(0)=3 z wytlumaczeniem bardzo prosze o szybko pomoc