pole karol: Zna ktoś prosty sposób rozwiazania tego zadania Znajdź pole trójkąta i równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: A(2,3) B(−1,3) C(3,1).

Mickej: wyznacz długości boków z wzoru na odległość 2 punktów

Mickej: jak to zrobisz to wyznacz sobie jakiś kąt z tweirdzenia cosinusów

karol: i co dalej...?

Mickej: pole z wzoru P=1\2sinα a*b a promień z twierdzenia sinusów

karol: sposób chyba szybszy od liczenia tych prostych, prostych prostopadłych.... ale ja tak nie lubie tych twierdzeń że chyba wybiore ten pierwszy sposób

Bogdan: P − pole trójkąta. → AB = [−3, 0] → AC = [1, −2] | −3 0 | P = ¹₂*| | | | = ¹₂ * |6 − 0| = 2 | 1 −2 | Zastosowałem wyznacznik z współrzędnych wektorów AB i AC

karol: może na te równanie okręgu też znasz krótszy sposób?

Bogdan: Równanie okręgu: x² + y² + ax + by + c = 0 A(2, 3): 4 + 9 + 2a + 3b + c = 0 B(−1, 3): 1 + 9 − a + 3b + c = 0 C(3, 1): 9 + 1 + 3a + b + c = 0 Trzeba rozwiązać układ równań: 1. 2a + 3b + c = −13 2. −a + 3b + c = −10 3. 3a + b + c = −10

karol: a skąd taki wzór na równanie okręgu?

Bogdan: 2. c = a − 3b − 10 1. 2a + 3b + a − 3b − 10 = −13 => 3a = −3 => a = −1 3. 3a + b + a − 3b − 10 = −10 => 4a − 2b = 0 => 2a = b => b = −2 2. c = −1 − 3*(−2) − 10 = −5 Równanie okręgu: x² + y² − x − 2y − 5 = 0 Środek okręgu S = (¹₂, 1) Długość promienia r = √ ¹₄ + 1 + 5 = ⁵₂ Równanie okręgu w postaci kanonicznej: (x − ¹₂)² + (y − 1)² = ²⁵₄

Bogdan: x² + y² + ax + by + c = 0 to jest równanie okręgu w postaci ogólnej, (x − x_o)² + (y − y_o)² = r² to jest równanie okręgu w postaci kanonicznej Środek okręgu S = (x_o, y_o)

karol: a czemu ja mam taki wzór na równanie okręgu w postaci ogólnej: x²+y⁻2ax−2by+c=0 i mi tym wzorem nie wychodzi

karol: x²+y²−2ax−2by+c=0

karol: a jak wyliczyłeś ten środek okręgu

karol: ehhh... no nie wiem o co tu chodzi.... pozostaje mi liczyć te proste

Bogdan: x_o = ^−a₂, y_o = ^−b₂

Bogdan: Jakie proste?

karol: proste prostopadłe do prostych

Eta: tak: −2a = −1 => a = ¹₂ − 2b = −2 => b = 1 to S( a, b) czyli S( ¹₂, 1) r² = √a² +b² − c −−− to wzór na r² po podstawieniu za a b c wylicz r

Bogdan: Nie wiem karol o czym mówisz, do wyznaczenia równania okręgu nie wyznacza się równań prostych.

Eta: Witam Bogdanie Przepraszam ,że się wcięłam , myślałam ,że Cię nie ma PS: Równanie okręgu w postaci ogólnej zawsze podawałam i wzór na r² z postaci ogólnej też Pewnie teraz inaczej uczą matematyki ( na skróty )

karol: powiedzcie tylko czemu to jest taki wzór x² + y² + ax + by + c = 0 a nie taki x²+y²−2ax−2by+c=0 bo z tego z tablic matematycznych nie wychodzi a z Twojego wychodzi

Bogdan: Witam Eto. Uczą tak samo, jak kiedyś, wystarczy przejrzeć nowe arkusze maturalne, ale domyślam się zdziwienia karola. Miał zapewne podany taki wzór okręgu w postaci kanonicznej: (x − a)² + (y − b)² = r², środek S = (a, b). rozwijamy wzorami skróconego mnożenia: x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² − r² = 0 Po podstawienu a² + b² − r² = c mamy: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

karol: no tak a u Ciebie jest x² + y² + ax + by + c = 0 dlaczego?

Bogdan: karolu, obojętnie jaki wzór przyjmiesz. Jeśli masz dane 3 punkty należące do okręgu, to w miejsce x oraz y we wzorze okręgu wstaw współrzędne tych punktów i rozwiąż układ równań

Eta: Tak , tak wiem to: stąd r² = a² +b² − c ale jak karola o tym przekonać jakby dokładnie przeanalizował to co teraz podałeś wszystko by się wyjaśniło

Bogdan: Jeśli przyjmiemy oznaczenia S = (x_o, y_o) oraz równanie okręgu w postaci kanonicznej (x − x_o)² + (y − y_o)² = r² to po rozwinięciu wzorami skróconego mnożenia otrzymamy: x² − 2x_ox + x_o² + y² − 2y_oy + y_o² − r² = 0 Oznaczamy: a = −2x_o, b = −2y_o, c = x_o² + y_o² − r² Otrzymujemy: x² + y² + ax + by + c = 0

karol: już wiem

karol: dzięki za cierpliwość do mnie

Bogdan: Pozdrawiam