Równanie różniczkowe raflp: Witam, Mam problem z następującym zadaniem: y'' + 9y = 3sin3t + 2cos3t Gdyby ktoś mógłby mi rozwiązać to zadanie i wytłumaczyć, jakich przekształceń mam tu dokonać, byłbym niesamowicie wdzięczny. Z góry dziękuję za waszą pomoc. Pozdrawiam

raflp: Podbijam

Trivial: y'' + 9y = 3sin3t + 2cos3t Mamy równanie różniczkowe liniowe rzędu 2 o stałych współczynnikach. Jako, że jest to równanie liniowe mamy zależność RORLN = RORLJ + RSRLN. y = y_j + y_s 1. RORLJ y'' + 9y = 0 Podstawiając y = e^λt rozwiązanie sprowadzi się do poszukiwania pierwiastków charakterystycznych. λ² + 9 = 0 λ = ±3i. y_j = c₁e⁰cos3t + c₂e⁰sin3t = c₁cos3t + c₂sin3t, c₁,c₂ ∊ R. 2. RSRLN Jako, że c₁cos3t i c₂sin3t są rozwiązaniami równania jednorodnego nie możemy przewidywać formy y_s = Acos3t + Bsin3t. Przewidujemy formę wielomianu o jeden stopień wyższego. y_s = Atcos3t + Btsin3t y_s' = Acos3t − 3Atsin3t + Bsin3t + 3Btcos3t = (A+3Bt)cos3t + (B−3At)sin3t y_s'' = 3Bcos3t − 3(A+3Bt)sin3t − 3Asin3t + 3(B−3At)cos3t = 3(2B−3At)cos3t − 3(2A+3Bt)sin3t. Wstawiamy do równania 3(2B−3At)cos3t − 3(2A+3Bt)sin3t + 9(Atcos3t + Btsin3t) = 3sin3t + 2cos3t 6Bcos3t − 6Asin3t = 3sin3t + 2cos3t

	1		1
A = −		, B =		.
	2		3

	1		1
ys = −		tcos3t +		tsin3t
	2		3

3. RORLN

	1		1
y = c1cos3t + c2sin3t −		tcos3t +		tsin3t, c1,c2 ∊ R
	2		3

raflp: Dzięki wielkie teraz już rozumiem