Maturzysto wykaż się! :> Święty: Witam. Zamieszczam arkusz z materiału rozszerzonego z matematyki dla maturzystów (i nie tylko!). Podawajcie swoje rozwiązania/odpowiedzi, bo nie posiadam do tego prawidłowych rozwiązań, a nie wiem czy dobrze zrobiłem. Dobrze wiecie, że to idealna sytuacja aby się wykazać 1. (5 pkt) W zbiorze <0,2π> rozwiąż równanie: |(3−x)²*sinx|=sinx 2. (7 pkt) Pole P pewnego trójkąta można obliczyć ze wzoru P=d²−(e−f)² gdzie d, e, f oznaczają długości boków trójkąta. Oblicz cosinus kąta leżącego naprzeciw boku długości d. 3. (6 pkt) Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków (niekoniecznie różnych) równania −x²−(m−1)x−m²+5m−4=0 przyjmuje wartość największą? Wyznacz tę wartość.

	log8		1
4. (4 pkt) Wiedząc, że a=		i b=		oblicz wartość wyrażenia
	log81		log64

16^3b+27^4a . Wynik podaj w najprostszej postaci. 5. (6 pkt) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy √2 . Oblicz długość promienia koła wpisanego w ten trójkąt. 6. (4 pkt) Wykaż, że w szkole liczącej 577 uczniów istnieje para uczniów mająca takie same inicjały. Przyjmij, że alfabet liczy 24 litery, a inicjały to dwuelementowy ciąg pierwszych liter imienia i nazwiska. 7. (4 pkt) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne x, y spełniają równanie: x−y=|y|−|x| 8. (3 pkt) Wykaż, że w trójkącie długość środkowej poprowadzonej do pewnego boku jest mniejsza od połowy sumy długości dwóch pozostałych boków tego trójkąta. 9. (4 pkt) Jest 60 pytań egzaminacyjnych. Student losuje 3 pytania. Aby zdać trzeba odpowiedzieć poprawnie na co najmniej 2 pytania. Student zna poprawne odpowiedzi na dokładnie 40 pytań. Czy prawdopodobieństwo, że student zda egzamin jest większe od 0,75? Odpowiedź uzasadnij. 10. (7 pkt) Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość 10 cm. Przekątna tego trapezu ma długość 8 cm i jest prostopadła do ramienia. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 13 cm. Oblicz objętość ostrosłupa. Zwróćcie uwagę na 6 i 8. Osobiście zadania z wykazywaniem muszę jeszcze doszlifować Miłego trzaskania zadanek!

rumpek: Podać odpowiedzi ?

Święty: Jak masz to dawaj

rumpek: Widzę, że kilka arkuszy połączonych Trzeba będzie przejrzeć zeszyt

rumpek: Zadanie 1 {0, π, 2π, 2} Zadanie 2

	15
cosα =
	17

Zadanie 3 Największa dla m = 4 wynosi 9 Zadanie 4 612 zaraz znajde reszte

Święty: Arkusz znalazłem na necie, bez odpowiedzi. Dobrze by było wiedzieć czy moje rozwiązania są prawidłowe, a przy okazji ktoś może siebie sprawdzi

rumpek: Cały ten "arkusz" to połączenie zadań z Pazdro + jakieś z neta i nie mam do tych z neta odpowiedzi Zadanie 9

	60 3
|Ω| = C603 =		= ...

	40 3		40 2		20 1
|A| = C403 + C402 * C201 =		+		*		= ...

	3
P(A) <
	4

rumpek: Zadanie 10 V = 122,88 [cm³]

Święty: A masz pomysł na zadania z wykazywaniem?

rumpek: Zadanie 5 (nie mam odpowiedzi) a₁ − pierwszy wyraz ciągu a₂ = a₁ + r − drugi wyraz ciągu a₃ = a₁ + 2r − trzeci wyraz ciągu 1^o (a₁)² + (a₂)² = (a₃)² (a₁)² + (a₁ + r)² = (a₁ + 2r)² a₁² + (a₁ + √2)² = (a₁ + 2√2)² a₁² + a₁² + 2√2a₁ + 2 = a₁² + 4√2a₁ + 8 2a₁² + 2√2a₁ + 2 = a₁² + 4√2a₁ + 8 a₁² − 2√2a₁ − 6 = 0 t = a₁, t > 0 t² − 2√2t − 6 = 0 Δ_t = 8 + 24 = 32 ⇒ √Δ_t = 4√2

	2√2 − 4√2
t1 =		< 0
	2

	2√2 + 4√2		6√2
t2 =		=		= 3√2
	2		2

boki trójkąta to: 3√2, 4√2, 5√2 I teraz żeby obliczyć promień wpisany to: trzeba znać połowę obwodu: (L = 3√2 + 4√2 + 5√2 = 12√2 ⇒ p = 6√2) i pole. Jako że jest to trójkąt prostokątny to z polem problemów nie powinno być

	1
P =		ah
	2

	1
P =		* 3√2 * 4√2
	2

P = 6√2 dalej już prosto (sprawdzić tylko trzeba czy w liczeniu wszystko ok xD)

rumpek: Odnośnie zadań na wykazywanie to w tym zadaniu 8 wystarczy skorzystać z nierówności trójkąta, teraz tylko myślę nad tym zadaniem z osobami.

Święty: Odnośnie zadania 5 P=12

	2*12		2
r=		=		=√2
	12√2		√2

rumpek: No wiadomo, że jakbym nie pomyliłbym się w zadaniu to niebyłym sobą P = 3√2 * 2√2 = 6 * √4 = 6 * 2 = 12

rumpek: W sumie to zadanie z osobami jest banalne

rumpek: Zadanie 6. Inicjały tworzymy przez pierwsze litery, naturalnie mogą się powtarzać, np.: Adamiak Adam (AA) itp. Zatem wariacje z powtórzeniami: W₂₄² = 24² = 24 * 24 = 576 Zatem możemy utworzyć 576 różnych inicjałów dla każdego ucznia, jednakże szkoła liczy o jednego ucznia więcej (577), czyli któremuś uczniowi na pewno powtórzą się inicjały. c.n.u.

Święty: Oj tam, oj tam, pokaż jak je rozkminić

Święty: Faktycznie Dzieki za pomoc

Święty: Maturalnych zmagań ciąg dalszy. Ma ktoś odpowiedzi do skonfrontowania? rumpek? 1. (5 pkt) Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji  

	√−x2+3x+4−2
y=
	√x3−2x2+3x−6

2. (5 pkt) Dana jest funkcja  

	ctgx+tgx		π
y=		określona dla x∊(0,		)
	2(ctgx−tgx)		4

Wyznacz zbiór wartości tej funkcji. 3. (5 pkt) Wiedząc, że a>0 i b>0 , sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie

	√a+√b		√a+√b
[a(		)−1+b(		)−1]
	2b√a		2a√b

____________________ = ?

	a+√ab		b+√ab
[(		)−1+(		)−1]
	2ab		2ab

4. (5 pkt) Dany jest wielomian W(x)=x⁴+3x³+3x²+8x+12 a) Wykaż, że −2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu. b) Rozwiąż nierówność W(x)≤12+8x−x³ 5. (5 pkt) Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(2,−3), B(4,2) oraz wektor AC=[6,8] a) Oblicz pole trójkąta ABC, b) Wyznacz współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta ABC w jednokładności o środku w punkcie P(−2,1) i skali k=3 6. (5 pkt) Ciągi liczbowe  (a_n) i (b_n) określone wzorami:

	2n−1		1
an=		i bn=(c−		)n
	cn+1		2

a) Wyznacz wszystkie wartości c, dla których ciąg (a₁,a₂,a₃) jest ciągiem geometrycznym. b) Wyznacz wszystkie wartości m tak, aby dla c=2 ciag (b₁+3m²,b₂,b₃) był arytmetyczny 7. (5 pkt) Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź boczną dwa razy dłuższą od krawędzi podstawy. Wyznacz kosinus kąta między ścianami bocznymi. 8. (5 pkt) W trapezie prostokątnym, punkt przecięcia się przekątnych jest oddalony od dłuższej podstawy o a, zaś od ramienia prostopadłego do podstaw o b . Oblicz pole trapezu, wiedząc, że jego wysokość wynosi c. 9. (5 pkt) Na płaszczyźnie z układem współrzędnych XOY zaznacz zbiór A={(x,y): x∊R i y∊R i log²₂(x²+y²)−5log₂(x²+y²)+6≤0} Oblicz pole i długość brzegu figury A. 10. (5 pkt) Ze zbioru całkowitych rozwiązań nierówności ||2x−6|−2|≤4 wybieramy kolejno dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to współrzędne punktu należącego do wykresu funkcji y=2x−4?

rumpek: Do tego odpowiedzi nie mam, ale mogę wrzucić arkusz z lat 70 bo dzisiaj dostałem kilkanaście

Święty: Szkoda. A spojrzałbyś na zadanie 10 i 5b? Kilka arkuszy z podobnych lat to mam i ja, zostawiam je sobie do przerobienia po maturze

rumpek: Miałem się uczyć z polskiego na sprawdzian ale co tam, i tak na razie mam za dobre oceny jak na mnie

Święty: Oj tam, oj tam. Też czasem staję przed takimi trudnymi wyborami i... matmie jednak trudno się oprzeć

rumpek: Zgadza się

rumpek: Ile ci tam w tym zadaniu 10 nierówność wyszła?

Święty: x∊<0,6>

rumpek:

rumpek: Zadanie 10 x∊<0,6> (0,1,2,3,4,5,6) |Ω| = 7 * 6 = 42 (wariacje bez powtórzeń, bo losujemy kolejno) Teraz tylko podstawić punkty pod prostą punkty (osobiście narysowałem wykres i po prostu odczytałem dla x'ów od zera do sześciu ) |A| = 3 (bo punkt (4,4) się liczby powtarzają) (0,1) (1,0) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) (0,4) (1,4) (0,5) (1,5) (0,6) (1,6) itp.

	3		1
P(A) =		=
	42		12

Święty: Czyli zgodnie z warunkiem zadania: x∊{0,1,2,3,4,5,6} |Ω|=7*6=42 A={(2,0),(3,2),(5,6)} |A|=3

	3		1
P(A)=		=
	42		14

I?

rumpek:

1
	* poprawka
14

rumpek:

Święty:

	1
A zerknąłbyś jeszcze na drugie? ZW=(0,		)?
	2

rumpek: Zadanie 5 1^o AC = [x_c − x_a; y_c − y_a] [6,8] = [x_c − 2; y_c + 3] x_c − 2 = 6 x_c = 8 y_c + 3 = 8 y_c = 5 A(2,−3), B(4,2), C(8,5) 2^o

	1
P =		* |(4 − 2)(5 + 3) − (2 + 3)(8 − 2)|
	2

	1
P =		* |2 * 8 − 5 * 6|
	2

	1
P =		* 14 = 7 [j2]
	2

Oczywiście to na razie a), sprawdź obliczenia, bo to moja pięta Achillesowa

Święty: OK

rumpek: To czas na b) ale to punkt już sobie na karteczce rozrysuje,

rumpek: I jakie ci tam powychodziły punkty? Bo jeszcze muszę C obliczyć a liczę na razie wektorowo.

Święty: A'=(10,−11) B'=(16,4) C'=(28,13)

rumpek: Tak samo ogólnie zasada: [PA']= 3[PA] [PB'] = 3[PB] [PC'] = 3[PC]

Święty: rumpek spójrz jeszcze na drugie i wracaj do polskiego

rumpek: Zadanie 2

	ctgx + tgx
f(x) =
	2(ctgx − tgx)

* licznik

	cosx		sinx		cos2x + sin2x
ctgx + tgx =		+		=		=
	sinx		cosx		sinxcosx

	1
=
	sinxcosx

*mianownik

	cosx		sinx		cos2x − sin2x
2(ctgx − tgx) = 2(		−		) = 2(		) =
	sinx		cosx		sinxcosx

	2cos2x
=
	sinxcosx

	1   sinxcosx		1
f(x) =		=
	2cosx2x   sinxcosx		2cos2x

Rysujemy wykresik pamiętając o dziedzinach z samych tg i ctg, http://www.wolframalpha.com/input/?i=\frac{1}{2cos2x} Także jak dobrze patrze to trochę za mały zbiór

Święty: Ok, dzięki za pomoc. Możesz wrzucić jakiś arkusz o którym wspomniałeś, w wolnym czasie powalczę Pozdrawiam

rumpek: Jak będę miał wolny czas (a zapewne polskim się dość szybko uporam ) to zrobię jeszcze to zadanie z ostrosłupem

Święty:

jarke: w tym zadaniu pierwszym z 'arkusza' pierwszego doszedłem do postaci: 1^o sinx(x−4)(x−2)=0 x=π, x=2π, x=2, x=4 2^o sinx(x²−6x+10)=0 Δ<0 sinx=0 x=π, x=2π gdzie popełniłem błąd?

jarke: hmmmm?

Święty: |(x−3)²*sinx|=sinx (x−3)²*sinx=sinx ⋁ (x−3)²*sinx=−sinx (x−3)²*sinx−sinx=0 sinx[(x−3)²−1]=0 ⋁ sinx[(x−3)²+1]=0 sinx=0 ⋁ (x−3)²−1=0⋁ (x−3)²+1=0

Basiek : Jeśli to prezent na święta, to spóźniłeś się Mikołaju, ale dzięki. Kradnę

Święty: Nie ma takiego 'ukradania' Rozwiązania proszę

Basiek : Coś czuję, że rumpek już niedługo Ci wszystkie rozwiązania tu poda A ja w sumie powinnam kontynuować optymalizacyjne zadanka

Święty: Polski go wciągnął

Basiek : Dzielny chłopak z niego. Zdradź mi, skąd wytrzasnąłeś te potworki powyżej?

rumpek: Właśnie skończyłem

rumpek: I nie polski mnie wciągnął tylko pączki robiłem

Basiek : Smacznego !

Święty: Jakiś nauczyciel wrzucił na chomika

Basiek : A link prosić można?

rumpek: A dzięki dzięki

Święty: http://revpx18.chomikuj.pl/s1466/File.aspx?id=155&vid=525327154&tk=1453134&t=634649364867533220&d=60&k=1343316&name=MP_2011_A2.pdf&loc=PL Jest tam też i trzecia − na jutro

Basiek : Masz ferie?

Święty: Nie

Basiek : Nieważne, w sumie i tak mnie przerażasz Fajne to nawet..., że też się gościowi chciało

jarke: Święty, no tak, zgadza się ja błędu w swoim rozwiązaniu nie widzę a wychodzi inaczej chyba że (x−3)² to pierwiastek podwójny, czyli x=3 −1 ⇒ x=2, o to chodzi, tak?

jarke: Basiek, druga godzinka odrobiona?

Basiek : Nie, to uwaga− zaczynam drugą godzinę... i trzecią?

rumpek: Całe to wyrażenie z sinusem: |(x − 3)²sinx| = sinx można zapisać w takiej postaci: (x − 3)² * |sinx| = sinx Rozpatrujemy wpierw: 1^o sinx ≥ 0 ∧ x∊<0,2π> ⇔ x∊<0, π>U{2π} (x − 3)²sinx = sinx (x − 3)²sinx − sinx = 0 sinx[(x − 3)² − 1] = 0 sinx[x² − 6x + 9 − 1] = 0 sinx(x² − 6x + 8) = 0 sinx = 0 ∨ x² − 6x + 8 = 0 Δ = 36 − 32 = 4 ⇒ √Δ = 2

	6 − 2
x1 =		= 2
	2

	6 + 2
x2 =		= 4 ∉ <0, π>U{2π}
	2

Czyli z tego równania otrzymujemy rozwiązania: x∊{0, π, 2, 2π} 2^o (to tylko dla formalności) Należy wykazać, że dla sinx < 0 nie ma rozwiązania co jest dość proste

jarke: teraz już rozumiem, dzięki wielkie @Basiek, Ty walcz, a ja idę spać o 6 pobudka dobranoc

Basiek : Dobranoc

Pepsi2092: A jak zrobiliście drugie zad z tego pierwszego arkusza ? Żeby tego cosα próbować liczyć to najpierw trzeba zastosować tw. cosinusów i co dalej ?

rumpek: juz mi się nie chce robić

Pepsi2092: Tylko to drugie bo nie będę mógł zasnąć Bez żadnych rysunków

rumpek:

	1		15
Tw. cosinusów i P =		absinα, dalej tylko będą dwie odp: cosα =		lub cosα = 1 to
	2		17

drugie odpadnie z wiadomych przyczyn

Pepsi2092: Oky postaram się zrobić Dzięki wielkie

rumpek: Nie no zaraz zrobię

rumpek: Zadanie 2 (pierwszy arkusz) P = d²−(e−f)² P = d² − (e² − 2ef + f²) = d² − e² − f² + 2ef Teraz korzystam z zapisania tw. cosinusów (kąt alfa naprzeciwko długości d) d² = e² + f² − 2efcosα Podstawiamy pod pole P i otrzymujemy: P = d² − e² − f² + 2ef = e² + f² − 2efcosα − e² − f² + 2ef P = 2ef − 2efcosα

	1
Korzystamy teraz z tego wzoru na pole co pisałem wyżej (P =		absinα) w tym wypadku będzie
	2

to tak wyglądało:

	ef
P =		*sinα, pozostało przyrównać pola
	2

efsinα
	= 2ef − 2efcosα / * 2
2

efsinα = 4ef − 4efcosα efsinα = 4ef(1 − cosα) / : ef (ponieważ długości są e,f > 0 ) sinα = 4(1 − cosα) / ()² sin²α = 16(1 − cosα)² 1 − cos²α = 16(1 − cosα)² 1 = 16(1 − cosα)² + cos²α 16(1 − 2cosα + cos²α) + cos²α = 1 16 − 32cosα + 16cos²α + cos²α − 1 = 0 17cos²α − 32cosα + 15 = 0 t = cosα 17t² − 32t + 15 = 0 Δ_t = 1024 − 1020 = 4 ⇒ √Δ_t = 2

	32 − 2		30		15
t1 =		=		=
	34		17		17

	32 + 2
t2 =		= 1 ∉ Z (nie może być bo wtedy α = 0, czyli trójkąt nie istnieje )
	34

Pepsi2092: Okey, wielkie dzięki I już gitary nie zawracam bo sporo czasu Ci schodzi z pisaniem tego

rumpek: