:) Zak z rasy joonów : Vax jak będziesz to się odezwij Mam parę pytań xD

Vax: Jestem pytaj, będę wiedział to odpowiem

Zak z rasy joonów : Chciałbym się dowiedzieć jak ty rozwiązujesz zadania korzystając z własności średnich. Czy masz jakąś ustaloną metodę czy po prostu widzisz że tutaj można to zastosować?

Vax: Chodzi o nierówność między średnimi ? Po prostu porobiłem parę zadań tego typu a dalej to wszędzie podobnie się to stosuje.

Zak z rasy joonów : hmm to ja wrzucę za chwilkę przykład i mam nadzieję że pomożesz

Vax: Ok spróbuję

Zak z rasy joonów : Chcę udowodnić :

1		1		1		1		2
	+		+ ... +		+		>
n		n+1		2n−1		2n		3

stosuję zależnosc miedzy średnią Harmoniczną oraz arytmetyczną i dochodzę do postaci :

1		1		1		2(n+1)
	+		+ ... +		>		no i nie wiem co dalej
n		n+1		2n		3n

Vax:

2(n+1)		2
	≥		/*3n ⇔ 2n+2 ≥ 2n ⇔ 2 ≥ 0 co jest prawdziwe.
3n		3

Zak z rasy joonów : yyy to tak można?

Vax:

	2
Masz pokazać, że L >		, pokazałeś, że L > jakieś−coś, jeżeli pokażesz, że jakieś−coś ≥
	3

	2		2		2
		to udowodnisz tezę, bo L > jakieś−coś ≥		więc w szczególności L >
	3		3		3

Zak z rasy joonów : z przechodniością mi się to kojarzy Mógłbym się jeszcze spytać jak wygląda ogólny przypadek średniej Kwadratowej? Mi się zdaje że :

	a1 + ... + an
n√
	n

Vax: Kwadratowa to stopień pierwiastka 2 √a1+a2+...+ann

Zak z rasy joonów : już zapamiętam Może mógłbyś dać jakiś prosty przykład PROSTY

Vax: Udowodnij, że dla dodatnich a,b,c spełniających abc=1 zachodzi (2a+b)(2b+c)(2c+a) ≥ 27

Zak z rasy joonów : prosty Od razu się spytam czy jest sens to wymnażać? i drugie pytanie : kwadratowa ≥ arytmetyczna ≥ geometryczna ≥ harmoniczna

Vax: Nie/Tak

Zak z rasy joonów : to jest prosty Spierwiastkowanie obydwu stron pierwiastkiem stopnia trzeciego będzie dobrą drogą?

Vax: Nie do końca Hint: 2a+b = a+a+b i teraz am−gm ; ]

Zak z rasy joonów : hmmm

a+b+a		b+c+b		a + c + c
	*		*		≥ abc
3		3		3

arytmetyczna?

Vax: Tak, ale trochę za szybko przeszedłeś:

a+a+b
	≥ 3√a2b
3

b+b+c
	≥ 3√b2c
3

c+c+a
	≥ 3√c2a
3

Mnożąc stronami dostajemy:

(2a+b)(2b+c)(2c+a)
	≥ 3√a3b3c3 = abc = 1 /*27 ⇔ (2a+b)(2b+c)(2c+a) ≥ 27 cnd.
27

Zak z rasy joonów : nigdy bym nie wpadł na to że :

a + a + b
	≥ 3√a2b xD
3

nigdy

Zak z rasy joonów : zawsze można tak przemnażać nierówności ? Bo o dodawaniu wiem ze można. Odejmować nie.

Vax: No jak wszystkie strony dodatnie to tak.

Zak z rasy joonów : dobrze Coś już umiem Nie masz jakiś łatwiejszych przykładów?

Vax: Wykaż, że jeżeli dla dodatnich a,b,c mamy a+b+c=1 to (1−a)(1−b)(1−c) ≥ 8abc

Zak z rasy joonów : z zależności między arytmetyczną i geometryczną mam :

b+c
	≥ √bc
2

a+c
	≥ √ac
2

a+b
	≥ √ab
2

mnożę stronami :

(b+c)(a+c)(a+b)
	≥ abc
8

(b+c)(a+c)(a+b) ≥ 8abc (1−a)(1−b)(1−c) ≥ 8 abc c.n.u.

Vax: Nom

Zak z rasy joonów : jupi Zaczynam coś łapać Możesz dać jakiś inny rodzaj

Vax: Pokaż, że dla x ≥ 0 mamy 3x⁵−5x³+2 ≥ 0

Zak z rasy joonów : yy może rozłożę to na czynniki i wykażę z wykresu ?

Vax: To idzie o wiele szybciej z am−gm

Zak z rasy joonów : Może idzie jeżeli wiesz jak to ruszyć Ja patrze i nie wiem nawet jak tu średnie zastosować

Zak z rasy joonów : czy rozpisanie x⁵ = x * x * x *x *x jest dobrym tropem?

Vax: Raczej 3x⁵ = x⁵+x⁵+x⁵, podobnie 2 = 1+1

Vax: Dobra ja z/w na jakąś chwilę

Zak z rasy joonów : fuck... właśnie wykazałem że x⁵ > x⁵ ...

Godzio: f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2 f'(x) = 15x⁴ − 15x² = 0 ⇒ x²(x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1, x = − 1 f'(x) > 0 ⇔ x ∊ (−∞,−1) U (1,∞) f'(x) < 0 ⇔ x ∊ (−1,0) U (0,1) x = 1 , f(1) = 3 − 5 + 2 = 0 −− minimum x = 0 , f(0) = 2 > 0 f(x) jest ciągła i w przedziale [0,1] jej wartość minimalna to 0, a w przedziale (1,∞) funkcja rośnie zatem nigdy nie przetnie osi OX, zatem nierówność 3x⁵ − 5x³ + 2 ≥ 0 jest spełniona dla x ≥ 0 Jak ja lubię pochodne

Zak z rasy joonów : Godziu czego mnie nie ostrzegłeś przed analizą. Był straszne rzeczy P.S. Już się dobrze czujesz?

Vax:

	3x5+2		x5+x5+x5+1+1
Z am−gm		=		≥ 5√x15 = x3, mnożąc obustronnie przez 5
	5		5

dostajemy tezę.

Zak z rasy joonów : mogę się dowiedzieć jak ty to robisz Skąd znasz takie metody ?

Vax: To jest cały czas to samo am−gm Tak jak pisałem, musisz przerobić kilka tego typu zadań i będzie to widać.

Zak z rasy joonów : Jak teraz zobaczyłem jak zrobić to zadanie z wielomianami to myślę że już z takim typem sobie poradzę Ostatnie pytanie i już ciebie dziś nie meczę W tej nierówności którą pierwszą wrzuciłem jak można prosto określić liczbę wyrazów?

Godzio: Hehe, Zak już dobrze A co takiego miałeś na analizie dzisiaj ?

Zak z rasy joonów : przez 2h wykładu dowodziliśmy takie rzeczy jak : 1 * x = x 0 *x = 0 0 + x = x x + (−x) = 0 ... przecież to zwariować można xD

Godzio: No Fajne rzeczy, ogólnie na logice mieliśmy dowód 1 * 1 = 1 zajmujący prawie jedną A4

Vax: Ja to zawsze robię tak, mamy:

1		1		1		1
	+		+		+..+		=
n		n+1		n+2		2n

	1		1		1		1
=		+		+		+...+
	n+0		n+1		n+2		n+n

	1		1		1
Pierwszy wyraz to		, drugi wyraz to		i już widać regułę,		to n+1
	n+0		n+1		n+n

wyraz, czyli wszystkich wyrazów jest n+1

Zak z rasy joonów : teraz widzę Dziękuję bardzo za pomoc Jutro przyjdę po więcej Godzia będę męczył z grup i z podstaw algorytmowania i programowania

Godzio: Z programowania To chyba nie do mnie O grupach Ci już mówiłem

Zak z rasy joonów : oo pamiętasz Jutro będzie pierwszy wykład z programowania to zobaczymy co to jest

Godzio: Dziwne, żebym nie pamiętał, byłem t !

Zak z rasy joonów : tak tak Byłeś