Oblicz granicę ciągu Kruk:

	n+1
an=(		)2n
	n+2

Krzysiek: korzystasz z liczby e do obliczenia tej granicy

Kruk: Hmmm... A konkretnie w jaki sposób?

Krzysiek:

	1
lim n→∞ (1+		)an =e
	an

gdzie a_n zmierza do ∞

alfa:

	1
=e−2=
	e2

Kruk: Ok, wiem już czym jest liczba e, ale jak tę wiedzę zastosować? Doprowadziłem wyrażenie do formy:

	2   1   (1+ + )n   n   n2
lim n→∞
	4   2   (1+ + )n   n   n2

Nie wiem czy poszedłem w dobrą stronę, nie mogę ruszyć dalej...

Krzysiek:

n+1		−1
	=1+
n+2		n+2

	1
więc: [(1+		)−(n+2) ](2n)/(−(n+2))
	−(n+2)

nawias kwadratowy zmierza do e, a potęga do −2 więc całość zmierza do e⁻²

alfa:

	n+2		−1
=(		+		)2n=
	n+2		n+2

	−1
(1+		)2n=
	n+2

	−1		2n
[(1+		)n+2]		=
	n+2		n+2

(e⁻¹)²=

	1
e−2=
	e2

Aga1: Inaczej lim_n→∞(1+α_n)^β_n=e^{lim n→∞(α_n*β_n)}

	−1		−2n
(1+		)2n=elim n→∞		=e−2.
	n+2		n+2

Krzysiek: Aga1,jak mnie uczono, to co napisałaś nie do końca jest poprawne,ponieważ przechodzisz częściowo do granicy

Aga1: Mam taki wzór z wykładów, jako drugi sposób.

pigor: lub inaczej . ... np. tak

	n+1		n2n(1+1n)2n
an=(		)2n=		⇒
	n+2		n2n(1+2n)2n

	lim (1+1n) n *2		e2
lim an =		=		= e−2
	lim(1+2n) n2 *4		e4

Kruk: Hej, znalazłem rozwiązanie podane mi przez wykładowczynię. Teraz wreszcie rozumiem.

	n+1		1   n(1+ )   n
lim n→∞ (		)2n = lim n→∞ [		]2n =
	n+2		2   n(1+ )   n

	1   (1+ )2n   n
		=
	2   (1+ )2n   n

	1   [(1+ )n]2   n		e2
		=		= e2−4 = e−2
	1   n   2   (1+ ) * *2n   (n/2)   2   n		e4