Zadanie
Godzio: Vax Zajrzyj tu koniecznie
12 lut 00:10
Vax: Tak?
12 lut 00:32
Godzio:
Jak takie coś udowodnić:
| 1 | | 3 | | 5 | | 97 | | 99 | | 1 | |
| * |
| * |
| * ... * |
| * |
| < |
| |
| 2 | | 4 | | 6 | | 98 | | 100 | | 10 | |
Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie:
x
2 + y
2 = 3z
2
12 lut 00:40
Godzio:
Mam nadzieję, że nie uciekłeś, potrzebuje pomocy w tych zadaniach
12 lut 00:40
Vax: x
2+y
2 = 3z
2
Jeżeli żadna z x,y nie jest podzielna przez 3, to x
2 = y
2 = 1 (mod 3) czyli x
2+y
2 = 2 (mod
3), sprzeczność, bo prawa strona 3z
2 = 0 (mod 3), czyli przynajmniej jedna z x,y jest
podzielna przez 3, niech x = 3x', wtedy:
9x'
2 + y
2 = 3z
2 ⇔ y
2 = 3z
2 − 9x'
2, prawa strona jest podzielna przez 3 czyli lewa też,
więc y = 3y', więc:
9x'
2 + 9y'
2 = 3z
2 ⇔ 3x'
2 + 3y'
2 = z
2
Lewa strona dzieli się przez 3, więc prawa też, czyli z = 3z' czyli:
3x'
2 + 3y'
2 = 9z'
2 ⇔ x'
2 + y'
2 = 3z'
2
Zauważmy, że możemy dane rozumowanie powtarzać nieskończenie wiele razy, więc musi być (x,y,z)
= (0,0,0) (Dla dowolnie dużego n ma być 3
n | x,y,z a to zajdzie jedynie dla x=y=z=0
12 lut 00:47
Godzio:
Łojej
a bez tych modów coś da radę
?
12 lut 00:49
Godzio:
Chyba, że mógłbyś mnie nauczyć o co chodzi z modami, o ile masz czas i chęci
12 lut 00:52
Vax: Tak można bez tego, wystarczy pokazać, że kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 jest postaci
3k+1 (Rozważ przypadki gdy liczba ta jest postaci 3n+1 lub 3n+2), z tego będzie wynikało, że
lewa strona dla x,y niepodzielnych przez 3 jest postaci 3s+2, czyli niepodzielna przez 3 a
prawa jest podzielna przez 3, czyli któraś z niewiadomych ma być podzielna przez 3, dalej już
masz w poprzednim poście
12 lut 00:57
Godzio:
Ok, dzięki, a na 1 zad. masz jakiś pomysł ?
12 lut 01:01
Vax: Ok, niech:
| | 1 | | 3 | | 99 | |
A = |
| * |
| * ... * |
| |
| | 2 | | 4 | | 100 | |
| | 2 | | 4 | | 100 | |
B = |
| * |
| * ... * |
| |
| | 3 | | 5 | | 101 | |
| | 2 | | 1 | | 4 | | 3 | | 100 | | 99 | |
Widzimy, że |
| > |
| , |
| > |
| , ... , |
| > |
| , więc |
| | 3 | | 2 | | 5 | | 4 | | 101 | | 100 | |
wymnażając wszystko dostajemy B > A, czyli:
| | 1 | | 1 | | 1 | |
A2 = A*A < A*B = |
| ⇔ A < √ |
| < |
| cnd. |
| | 101 | | 101 | | 10 | |
12 lut 01:29
Godzio:
Ooo dzięki wielkie ! Czasem możesz wpadać w środy wieczorem bo będę miał czasem wątpliwości co
do takich zadań, ale mam nadzieję, że nie zawsze
12 lut 01:31
Vax: Ok, zaglądam na to forum dosyć często więc możesz pisać kiedy chcesz, jak będę umiał postaram
się pomóc
12 lut 01:35
Godzio:
Będziesz umiał, bo pomagam gimnazjaliście z matmy, z takich właśnie zadań i ostatnio takimi
dwoma mnie zagiął
12 lut 01:38
Zak z rasy joonów : Wisze że poziom w gimnazjum się podniósł ostatnimi czasy
12 lut 01:53
Godzio:
Nie no, kółkowe zadanka
12 lut 01:53
Zak z rasy joonów : To i tak ładnie
12 lut 02:16