Błagam o pomoc Bartek : Wyznacz sumę wszystkich liczb n−tego wiersza tablicy 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 .... n 2n 3n 4n ... n²

wmboczek: to jest ciąg o r=n i n wyrazach

Bartek: to jak sumę zapisać?

Bartek:

	1
ja mam w odp.		n(n+1)(n+2)(3n+1) to nie zgadza się z tym co napisałeś?
	24

Bartek: ?

Bartek: proszę o pomoc

Mila: Czy na pewno tylko suma wyrazów z n−tego wiersza?

Godzio: Podstaw sobie u siebie chociażby 2, wyjdzie Ci 6 ?

	n + n2
S =		* n
	2

Godzio: No, odpowiedź pochodzi po sumę wszystkich wierszy

Bartek: ale jak dojść do tej odp.?

Mila: S₁ =1

	n+n2
Sn=		*n
	2

	S1 +Sn
S'n =		*n
	2

Licz, ja też liczę.

Mila: Stop, ostatni wzór źle

Trivial:

	n(n+1)
n + 2n + 3n + ... + n*n = ∑k=1...nkn = n*∑k=1...nk = n*		.
	2

↖szereg arytmetyczny

Godzio: Trivial chodzi o sumę wszystkich wierszy

Mila: Sprawdziłam i chodzi o sumę wszystkich wyrazów!

Trivial: To poziom liceum, czy studia?

Mila: O to samo pytam.

Trivial: Zakładając że poziom studia to... Skoro masz sumę wiersza n to z łatwością policzysz sumę wszystkich wyrazów. Trzeba dodać do

	k2(k+1)
siebie sumy cząstkowe wszystkich wierszy. Otrzymujemy sumę		dla wiersza k
	2

(k=1,2,3,...,n). Czyli trzeba policzyć sumę

	k2(k+1)
∑k=1..n
	2

Policzmy sumę nieoznaczoną. Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu na silnie dolne mamy

	(Δkw)(0)
w(x) = x2(x+1) = ∑k=0..3		xk
	k!

x 0 1 2 3 ... w(x) 0 2 12 36 ... (Δw)(x) 2 10 24 ... (Δ²w)(x) 8 14 ... (Δ³w)(x) 6 ... Zatem w(x) = 2x + 4x² + x³.

	x2(x+1)		1
∑		δx =		∑(2x + 4x2 + x3)δx =
	2		2

	1		4		1
=		(x2 +		x3 +		x4) + C =
	2		3		4

	1
=		(12x2 + 16x3 + 3x4) + C =
	24

	1
=		[12x(x−1) + 16x(x−1)(x−2) + 3x(x−1)(x−2)(x−3)] + C = ... =
	24

	1
=		(x−1)x(x+1)(3x−2) + C.
	24

Wyrażenie to w granicach od 1 do n+1 daje nam:

1		1
	n(n+1)(n+2)[3(n+1)−2] =		n(n+1)(n+2)(3n+1)
24		24

Zatem ostatecznie

	k2(k+1)		1
∑k=1..n		=		n(n+1)(n+2)(3n+1).
	2		24

Mila: Do Bartka Nie wiem czy to Cię jeszcze interesuje, zrobiłam to trochę inaczej niż Trivial, na poziomie LO. Ponadto pytam, czy nie jest to zadanie z jakiegoś aktualnego konkursu? Jest sporo pisania i dlatego pytam.