planimetria Ania: Uzasadnij, że jeśli w trapez prostokątny ABCD można wpisać okrąg to trójkąt, którego wierzchołkami są środek O okręgu i końce dłuższego ramienia, jest prostokątny. prosze o pomoc

Ania: niebieski pkt to punkt stycznosci zielone to dwusieczne a czerwone to promienie. tylko nie wiem co dalej ?

Gustlik: Ta reguła dotyczy wszystkich trapezów, w które można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego w dowolny wielokąt, w który można wpisać okrąg, leży zawsze w punkcie przecięcia się dwusiecznych wszystkich kątów tego wielokąta. Niech |∡A|=2α, |∡B|=2β, |∡C|=2γ, |∡D|=2δ, przy czym kąty A, B, C, D to kąty trapezu leżące przy odpowiednich wierzchołkach. Z własności trapezu wiadomo, że suma kątów utworzonych przez ramię trapezu z jego podstawami jest równa 180^o (katy przyległe i odpowiadające). Zatem: |∡A|+|∡D|=2α+2δ=180^o, czyli α+δ=90^o, z sumy kątów ΔAOD wynika, że ∡AOD=180^o−(α+δ)=90^o, czyli ΔAOD jest prostokątny. W analogiczny sposób można udowodnić, że ΔBOC jest również prostokątny udowadniając, że β+γ=90^o. Własność ta dotyczy również trapezów prostokątnych, w tym także ramienia prostopadłego do podstaw trapezu prostokątnego. Jest to bardzo ciekawa własność, nie raz ją wykorzystywałem w zadaniach, bo ułatwiała ona ich rozwiązanie, mozna np. wykorzystać twierdzenie Pitagorasa oraz pozostałe własności trójkątów prostokątnych utworzonych "na ramionach" trapezu.