Obliczyć całkę Krystian:

	(x2+2x+3)dx
∫
	(x−1)(x2+4)

Artur z miasta Neptuna:

x2+2x+3		A		Bx+C
	=		+		= U{Ax2+4A +Bx2 − Bx + Cx −
(x−1)(x2+4)		x−1		x2+4

C}{(x−1)(x²+4)} stad masz, że:

⎧	A+B = 1
⎨	−B + C = 2
⎩	4A − C = 3

wyznacz A,B,C i masz całkę z sumy dwóch ułamków ... pierwszy to będzie 'coś'* ln |x−1|, a w drugiej robisz podstawienie i też będzie (najprawdopodobniej) 'inne coś' * ln |x²+4|

Krystian: Atrur dzięki za pomoc ale czy mógłbyś napisać jaśniej gdyż nie bardzo rozumiem?

Artur z miasta Neptuna: rozkładasz ułamek ZŁOZONY na sumę ułamków PROSTYCH. Podałem metodę

Krystian: a jeszcze prościej? najlepiej krok po kroku. Dzieki

Artur z miasta Neptuna: dobra ... A = 1−B C = 2+B

	1		4		11
4−4B − 2 − B = 3 => B =		więc A =		i C =
	5		5		5

Więc

	x22x3		1		4		x+11
∫		dx =		[ ∫		dx + ∫		dx ] =
	(x−1)(x2+4)		5		x−1		x2+4

	1		1		1		2x		11		1
=		[ 4∫		dx +		∫		dx +		∫		dx] =
	5		x−1		2		x2+4		4		(x/2)2+1

// w drugiej całce: s= x²+4 ... ds = 2x dx //

	1		1		1		11
=		[ 4ln |x−1| +		∫		ds +		arc tg (x/2)] =
	5		2		s		4

	1		1		11
=		[ 4ln |x−1| +		ln|x2+4| +		arc tg (x/2)] + C
	5		2		4

i uporządkuj to jakoś.

Krystian: A+B = 1 −B + C = 2 4A − C = 3 a skąd się to wzięło?

Artur z miasta Neptuna: Powtórz sobie "rozkładanie na ułamki proste" masz ułamek postaci:

x2+2x+3
	= (*).... wielomiany w nawiasach (mianownika) już bardziej nie da się
(x−1)(x2+4)

'rozłożyć" to taki ułamek można rozłożyć na sumę dwóch ułamków postaci:

	A		Bx+C
(*) =		+		= (**)
	x−1		x2+4

zauważ, że liczniki każdego z tych ułamków posiadają wielomian o stopień niższy niż mianownik Aby wyliczyć 'A', 'B' i 'C' musisz dodać te dwa ułamki do siebie

	A(x2+4)		(Bx+C)(x−1)
(**) =		+		=
	(x−1)(x2+4)		(x−1)(x2+4)

	(A+B)x2 +(−B+C)x +(4A−C)
=
	(x−1)(x2+4)

teraz przyrównujesz do wyjściowego ułamku:

x2+2x+3		(A+B)x2 +(−B+C)x +(4A−C)
	=
(x−1)(x2+4)		(x−1)(x2+4)

i stąd wiesz, że:

⎧	x2 = (A+B)x2
⎨	2x = (−B+C)x
⎩	3 = 4A−C

więc:

⎧	1 = (A+B)
⎨	2 = (−B+C)
⎩	3 = 4A−C

i rozwiązujesz ten układ