PW: | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
Dla dowolnego ciągu an, np. 1, |
| , |
| , |
| , ..., |
| ,... |
| | 2 | | 3 | | 4 | | n | |
Można utworzyć tak zwany ciąg sum częściowych b
n, np.
| | 1 | | 1 | | 1 | |
1, 1+ |
| , 1+ |
| + |
| , ... |
| | 2 | | 2 | | 3 | |
Po prostu tworzymy sumy, za każdym razem dodając jeszcze jeden wyraz ciągu a
n.
Powstaje w ten sposób nowy ciąg b
n − tak zwany ciąg sum częściowych.
Jeżeli skończona granica tego ciągu b
n przy n→
∞ istnieje, to nazywamy ją "sumą wszystkich
wyrazów ciągu a
n" (cudzysłów, bo niepoprawne matematycznie) albo sumą szeregu i zapisujemy:
∞
lim b
n = ∑ a
n.
n→∞ n=1
Jeżeli taka granica nie istnieje, to mówimy że ciąg a
n nie jest sumowalny (nie istnieje suma
szeregu), a jeżeli granica b
n jest nieskończona, to mówimy że szereg jest rozbieżny do
nieskończoności (tak jest w podanym przykładzie). Niektórzy mówią "szereg jest rozbieżny" w
obu wypadkach − zarówno gdy granica nie istnieje, jak i gdy granica jest równa
nieskończoności, trzeba to rozumieć z kontekstu.
Typowym znanym ze szkoły średniej szeregiem zbieżnym jest szereg geometryczny o ilorazie q,
|q|<1.
Jakoś pokazuje się, że granicą ciągu
S
n = a
1 + a
1q + a
1q
2 +... +a
1q
n−1
