temat prywatny Tragos: wątek prywatny, robię zadania kumplowi, więc proszę nic tutaj nie odpisywać z góry dzięki

przeszkadzajka: aaaaaaaaaaaa vkghkjg

Tragos: Zad. 1

	n+3		n+2 +1
limn−>∞ (		)3n = limn−>∞ (		)3n =
	n+2		n+2

	1		1
limn−>∞ (1 +		)3n = limn−>∞ (1 +		)W
	n+2		n+2

	3n
W = (n+2)3nn+2, < tu w wykładniku jest
	n+2

	1
limn−>∞ (1 +		)n+2 = e
	n+2

	3n
limn−>∞		= 3
	n+2

zatem wynik e³

przeszkadzajka: To już lepiej, jak mu rozwiążesz na kartce, zrobisz fajne zdjęcia telefonem i poślesz mms−em, e−mailem czy łoewa. Szybciej, dokładniej, bez problemu z zapisem, bez żadnej przeszkadzajki, która by się głupio i bezsensownie wtrącała

Tragos: Zad. 2

	sin4x		0		(sin4x)'
limx −> 0		= [		] = [H] = limx −> 0		=
	sin3x		0		(sin3x)'

	4cos4x		4
limx −> 0		=
	3cos3x		3

przeszkadzajka:

	0
eee [		] i H powinno być w okolicy znaku =. Twój zapis jest niepoprawny. Wynika z niego,
	0

	0
że granica wynosi [		]=H
	0

Tragos:

	cosx
f(x) =
	lnx

	cosx		(cosx)'*lnx − cosx*(lnx)'
f'(x) = (		)' =		=
	lnx		ln2x

1   −sinx * lnx − cosx *   x		cosx   sinx * lnx +   x
	= −		=
ln2x		ln2x

	sinx * lnx * x   cosx   + x   x		sinx * lnx * x + cosx   x
−		= −		=
	ln2x		ln2x

	x * sinx * lnx + cosx
−
	x * ln2x

Tragos: Zad. 4 f(x) = x³ + 3x² − 9x + 10 D_f = R f'(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x² + 2x − 3) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f rośnie, gdy f'(x) > 0 f'(x) > 0 3(x² + 2x − 3) > 0 x² + 2x − 3 > 0 x² −x + 3x − 3 > 0 x(x − 1) + 3(x−1) > 0 (x+3)(x−1) > 0 x ∊ (−∞, −3) ∪ (1, +∞) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f maleje, gdy f'(x) < 0 f'(x) < 0 3(x² + 2x − 3) < 0 x² + 2x − 3 < 0 (x+3)(x − 1) < 0 x ∊ (−3, 1)

Krzysiek: Tragos, przepraszam, że się wtrącam, ale jeżeli kogoś uczysz... do obliczenia zad 2 nie korzystałbym z reguły de l'hospitala.. bo nie wypada z niego korzystać...

	sinx
raczej korzysta się z tego, że:lim x→0		=1
	x

Tragos: Zad. 5 ∫³₁(4x³ − 3x² + 2x − 5)dx = [F(x)]³₁ = F(3) − F(1) = 48 + C − (−4 + C) = 52 f(x) = 4x³ − 3x² + 2x − 5 F(x) = x⁴ − x³ + x² − 5x + C F(3) = 3⁴ − 3³ + 3² − 5*3 = 81 − 27 + 9 − 15 + C = 48 + C F(1) = 1⁴ − 1³ + 1¹ − 5 + C = −4 + C

Tragos: Krzysiek, treść zadania w zad. 2 była oblicz za pomocą reguły de l'hospitala

Krzysiek: To przekaż tej osobie tą drugą metodą, może 'zabłyśnie' na lekcji Bo to trochę nie poprawne liczyć tak zadanie

Tragos: zad. 6 rozwiąż metodą eliminacji gaussa układ cramera { x + 2y + 3z = 14 { 4x + 3y −z = 7 { x − y + z = 2 [ 1 2 3 | 14 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 4 3 −1 | 7 ] ~ [ 0 −5 −13 | −49 ] ~ [ 0 −5 −13 | −49 ] ~ [ 0 −5 −13 | −49 ] ~ [ 1 −1 1 | 2 ] [ 1 −1 1 | 2 ] [ 1 −1 1 | 2 ] [ 0 −3 −2 | −12 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 0 −5 −13 | −49 ]

	29		87
[ 0 0		|		]
	5		5

i teraz odczytujemy od tyłu:

29		87
	z =
5		5

z = 3 −5y − 13z = −49 −5y = −49 + 13z −5y = −49 + 39 −5y = −10 y = 2 x + 2y + 3z = 14 x + 4 + 9 = 14 x = 1 Odp. x = 1 y = 2 z = 3

Tragos: oj popsuło się troche w 6, poprawiam [ 1 2 3 | 14 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 4 3 −1 | 7 ] ~¹ [ 0 −5 −13 | −49 ] ~² [ 1 −1 1 | 2 ] [ 1 −1 1 | 2 ] [ 1 2 3 | 14 ] [ 0 −5 −13 | −49 ] [ 0 −3 −2 | −12 ] jeszcze dodaje jakie operacje na macierzach były ¹: W₂ += (−4)W₁ ²: W₃ += (−1)W₁

	3
3: W3 += (−		)W2
	5

Tragos: zad 3. / zestaw 2

	2
f(x) =		x3 − x2 − 12x − 4
	3

D_f = R f'(x) = 2x² − 2x − 12= 2(x² − x − 6) rozłożymy sobie f'(x) na postać iloczynową, potem się przyda Δ = 25 ⇒ √Δ = 5

	1 − 5
x1 =		= −2
	2

	1 + 5
x2 =		= 3
	2

f'(x) = 2(x+2)(x−3) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) = 0 2(x+2)(x−3) = 0 (x+2)(x − 3) = 0 x ∊ {−2, 3} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) > 0 2(x+2)(x−3) > 0 (x+2)(x−3) > 0 x ∊ (−∞, −2) ∪ (3, +∞) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) < 0 2(x+2)(x−3) < 0 (x+2)(x−3) < 0 x ∊ (−2, 3) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− funkcja rośnie w przedziałach (−∞, −2) oraz (3, +∞) (bezpieczniej napisać w przedziałach i wymienić dwa, niż jeden przedział a z sumą mnogościową ∪) funkcja maleje w przedziale (−2, 3) i ekstremum lokalne, punkty podejrzane o ekstremum lokalne, to gdy f'(x) = 0 zatem x ∊ {−2, 3} dla x = −2 będzie to ekstremum lokalne maksymalne, bo znak pochodnej zmienia się z plusa na minus dla x = 3 będzie to ekstremum lokalne minimalne, bo znak pochodnej zmienia się z minusa na plus

Tragos: zad 2. / zestaw 2 (korzystając z reguły de l'hospitala)

	5x − 4x		0		(5x − 4x)'
limx−>0		= (		[H]) limx−>0		=
	x		0		x'

	x*5x−1 − x*4x−1
limx−>0		=limx−>0 (x*5x−1 − x*4x−1) = 0 * 5−1 − 0 *
	1

4⁻¹ = 0

Krzysiek: (5^x )' ≠x5^x−1

Tragos: fakt , dzięki Krzysiek (5^x)' = 5^x * ln(5) (4^x)' = 4^x * ln(4)

	5x − 4x)'
limx−>0		= limx−>0 (5x * ln(5) − 4x * ln4) = 0
	x'

Krzysiek: 5⁰ = 1

	5
więc granica to ln5 −ln4 =ln
	4

Tragos: oj, właśnie mi coś nie pasowało, jak sprawdzałem w excelu