Punkty przegięcia i wypukłość sebcio:

	ex
f(x) =
	x

Wyznaczam dziedzine : D_f = R−{0} 1−sza pochodna

	ex(x−1)
f'(x) =
	x2

D_f' = D_f 2−ga pochodna

	ex(x2 − 2x + 2)
f''(x) =
	x3

D_f''=D_f I teraz badam :

	ex(x2 − 2x + 2)
f''(x) > 0 <=>		> 0 <=> x2−2x+2>0 i x3>0 lub x2−2x+2<0 i x3<0
	x3

Z rownania kwadratowego wychodzi brak pierwiastkow, i ustailem, ze wykres funkcji jest wypukłu "ku dołowi" dla x ∊(0, ∞) wypukły ku "górze" dla x ∊(−∞, 0) Ale nei wiem czy dobrze i nie wiem też jak wyznaczyć punkty przegięcia (bo patrzac po rysunku wykresu to nie ma ich w zerze)

jo: Przyrównaj do zera drugą pochodną, to co wyjdzie to będzie punkt przegięcia.

sebcio: No ale własnie dziedzina = R−{0} więc tam nie moze byc punktu przegiecia?

jo: Nie ma punktów przegięcia.

sebcio: Ok, następny przykład prosiłbym o sprawdzenie Polecenie − to samo

	x
y =
	ex

D_f = R 1−sza pochodna : (e⁻x * x)' = −e^−x(x−1), D_f'=D_f 2−ga pochodna: (−e⁻x (x−1))' = −e^−x (x−2), D_f'' = D_f f''(x) > 0 <=> x−2 > <=> x > 2 zatem wykres wypukły ku dołowi dla x ∊ (−∞, 2) ku gorze dla x ∊ (2, ∞)

	2
punkt przegiecia : (2,		)
	ex

jo: Wygląda na ok

sebcio: Aha, i tam poprawka − mialo byc e² a nie x w punkcie przegiecia Jeszcze jakies porozwiazuje i sie tu zwroce jak cos

Artur z miasta Neptuna: taka mała sugestia −−− w pochodnych (1,2 stopnia) zostawiaj mianownik bez zmian −−− aby mieć pewność, że znak pochodnej zależy tylko i wyłącznie od licznika −−− zawsze to trochę bezpieczniejsze

sebcio: Ok, kolejny przykład : y = x + ⁴_x D_f = R−{0}

	4
y' = 1−
	x2

D_f' = D_f

	−8x
y '' =
	x4

D_f'' = D_f y > 0 <=> −8x > 0 <=> x > 0 Czyli wykres funkcji wypukly go gorze dla x ∊ (0, +∞) ku dolowi dla x x ∊ (−∞, 0) Brak punktow przegiecia bo x ≠D_f.

sebcio: dzięki za sugestie Artur

Artur z miasta Neptuna: kolejna sugestia −−− staraj się unikać zwrotu "wypukły ku górze" na funkcje wklęsłą, chyba że tak właśnie zostało to wprowadzone na wykladach

sebcio: na wykładach był obie nazwy ale raczej z naciskiem na "ku górze" i "ku dołowi"

sebcio: Ostatni przykład : y = (x + 2)arctgx D_f = R

	x+2
y ' = arctgx +
	1+x2

D_f' = D_f

	2−4x
y '' =
	(1+x2)2

D_f'' = D_f

	1
y > 0 <=> 2−4x > 0 <=> x <
	2

Czyli wykres jest wypiety ku dolowi dla x ∊(−∞, ¹₂) (tzw. "uśmiechnięty) ku gorze dla x ∊ (¹₂, ∞) (smutny) p. przegiecia (⁵₂, ⁵₂ * arctg¹₂)

Artur z miasta Neptuna: hmmm ... a czemu punkt przegięcia ≠ od punktu zmiany znaku f''

sebcio: o kurde, wstawilem tez x do wzoru na funkcje, zapomnialem ze sie tylko wstawia do obliczenia y. Czyli p. przegięcia będzie : (¹₂, ¹₂ * arctg(¹₂)

sebcio: (¹₂, ⁵₂*arctg¹₂) znaczy sie