pytanie egzaminacyjne tomek: Mam takie pytanie Czy pochodna funkcji f(x)=|x| istnieje w punkcie x=1?

tomek: albo czy jeżeli f'(x) istnieje w przedziale (−1;1), to f(x) jest ciągła w punkcie 0.

Artur z miasta Neptuna: 1) funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀ gdy, granice lewo i prawostronna postaci:

	f(x0+h)−f(x0)
limh−>0
	h

są sobie równe. 2) funkcja jest ciągła w punkcie x₀, gdy granice lewo i prawostronna postaci: lim_x−>x0 f(x) są sobie równe. pochodna f(x)=|x| w punkcie x₀=1 istnieje (w punkcie x₀=0 nie istnieje). drugi wpis jest błędny −−− f'(x) NIE istnieje na całym przedziale (−1,1) −−− lub jak wolisz ... funkcja f(x) nie jest różniczkowalna na całym przedziale (−1,1).

Artur z miasta Neptuna: 3. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) to jest ona ciągła na tymże przedziale.

tomek: a różniczkowalna tzn że ma pochodna?

Artur z miasta Neptuna: funkcja jest różniczkowalna = funkcja posiada pochodną

tomek: oki wielkie dzieki

tomek: A jeszcze jedno pytanie czy każda suma całkowa jest nie ujemna

tomek: wynikiem całki oznaczonej jest zawsze liczba dodatnia

Artur z miasta Neptuna: niee przykład: 1

	x2		1		4		3
∫x dx = [		]−21 = [		−		] = −
	2		2		2		2

−2

tomek: czyli nie każda suma całkowa jest nieujemna? Całki dodatnie tyczą się tylko zastosowania całek?

Artur z miasta Neptuna: pole powierzchni krzywej, która jest PONIŻEJ osi OX jest liczona z minusem rysunek przedstawia jakie pole będzie liczyła całka oznaczona na przedziale (a,b)

Artur z miasta Neptuna: dlatego też bardzo często trzeba brać ∫ |f(x)| dx

tomek: czy tak jak na rysunku jest pokazane to też jest maksimum lokalne? Bo mam pytanie czy jeżeli funkcja f(x) ma maksimum lokalne, to nie istnieje funkcja odwrotna do niej. A wiem też że żeby funkcja mogła być odwrotna to musi być różnowartościowa.

tomek: to u góry powinno być po prawej stronie

Artur z miasta Neptuna: narysuj jeszcze raz ... i zaznacz, które kółko jest 'zapełnione' a które 'puste'

tomek:

Artur z miasta Neptuna: trzeba wyróżnić parę przypadków: 1. funkcja nie jest ciągła (czyli także nie jest różniczkowalna) na całym przedziale (a,b) wtedy może istnieć funkcja f⁻¹ pomimo, że funkcja f(x) posiada maksimum/minimum lokalne (a nawet globalne), dla której D_f⁻1 = ZB_f 2. funkcja jest ciągła (ale nie musi być różniczkowalna) na całym przedziale (a,b) => jeżeli funkcja posiada minimum/maksimum lokalne to nie jest to funkcja różnowartościowa => nie istnieje f⁻¹ dla funkcji f(x) z dziedziną zawierającą odcinek (a,b).

Artur z miasta Neptuna: dana funkcja nie posiada maksimum lokalnego (dąży do niego, ale go nie osiąga) ... nie jest ona różniczkowalna w przedziale (a,b), ale posiada funkcję odwrotną.

tomek: czyli skoro ma maksimum lokalne to nie istnieje funkcja do niej odwrotna?

Jack: tak, ponieważ nie będzie różnowartościowa.

Artur z miasta Neptuna: a niby dlaczego nie? podany przykład to trochę zmodyfikowany wykres hiperboli (obciąłem go w x=−1, aby uzyskać maksimum lokalne, a nawet maksimum globalne)

	1
jak wiesz, wykres takiej hiperboli to f(x) = −		Df = R/{0} i posiada ów funkcja f−1 =
	x

	1
−		Df−1 = R/{0}
	x

Moja modyfikacja polega na tym, że masz:

	1
f(x) = −		Df = R/(−1,0).
	x

tak funkcja posiada funkcję odwrotną:

	1
f−1 = −		Df−1 = (−∞,0) ∪ (0,1>
	x

Artur z miasta Neptuna: więc tak ... jeżeli dziedzina funkcji jest R i f jest ciągła to jak najbardziej masz rację −−− maksimum/minimum lokalne oznacza, że funkcja nie posiada odwrotnej (ponieważ f(x) nie jest różnowartościowa). Jednak to nie dotyczy funkcji, które nie są ciągłe na R lub ich dziedzina ≠ R

tomek:

	1
no ale pochodna		nigdy nie równa sie 0 to jak to się wyjaśnia?
	x

Artur z miasta Neptuna: Funkcja nie posiada maksimum/minimum lokalnego tylko i wyłącznie w punktach w których f' = 0 przykład: f(x) = |x| (minimum dla x₀ = 0, natomiast w tym punkcie nie jest ona różniczkowalna/nie posiada pochodnej − patrz. warunek na istnienie pochodnej) −−− jest to klasyczny przykład obrazujący, że zerowanie się pochodnej w punkcie x₀ nie jest jedynym przypadkiem dla którego funkcja posiada ekstremum w jakimś punkcie swojej dziedziny Po prostu to co wcześniej narysowałem ... tam dla x₀ = −1 pochodna NIE ISTNIEJE