Asymptoty i ekstrema Zuzik Piskorz: Jak je znaleźć dla : a) y=xe^−x

	x2−3
B) y=
	x−2

Beata: Dla drugiej funkcji: dziedziną jej jest R−{2} zatem badając granice jednostronne przy 2+ wyjdzie +∞, przy 2− otrzymasz −∞. Zatem x=2 jest asymptotą pionową obustronną asymptoty poziomej nie ma, bo lim x→∞(f(x))= ∞, ale będzie asymptota ukośna y=ax+b, bo lim x→∞(f(x)/x)=1=a; b=limx→∞(f(x)−ax)=limx→∞(2x−3)/(x−2)=2 zatem y=x+2 jest asymptotą ukośną teorię do tego znajdziesz np. na stronie: http://www.bryk.pl/teksty/liceum/pozosta%C5%82e/matematyka/23430-asymptoty_uko%C5%9Bne.html co zaś tyczy się ekstremów, to trzeba zbadać pierwszą pochodną, sprawdzić, czy są x, dla których f(x)=0. Jeśli nie, to nie ma ekstremum, jeśli tak, to trzeba zbadać znak pochodnej w okolicy znalezionego x, dla którego ta pochodna się zerowała. f'(x)={2x(x−2)−1(x²−3)}/(x−2)²= (x²−4x+3)/(x−2)² f'(x)=0 ⇔x²−4x+3=0; Δ=4; x1=1; x2=3; 1 i 3 są punktami podejrzanymi o istnienie ekstremum f'(x)>0 ⇔x∊(−∞;1)u(3;∞) f'(x)<0 ⇔x∊(1; 3) w otoczeniu 1 pochodna zmienia znal z + na −, zatem w x=1 funkcja osiąga maximum, w otoczeniu 3 pochodna zmienia znak z − na + zatem x=3 funkcja osiąga minimum

Beata: Dla drugiej funkcji: dziedziną jej jest R−{2} zatem badając granice jednostronne przy 2+ wyjdzie +∞, przy 2− otrzymasz −∞. Zatem x=2 jest asymptotą pionową obustronną asymptoty poziomej nie ma, bo lim x→∞(f(x))= ∞, ale będzie asymptota ukośna y=ax+b, bo lim x→∞(f(x)/x)=1=a; b=limx→∞(f(x)−ax)=limx→∞(2x−3)/(x−2)=2 zatem y=x+2 jest asymptotą ukośną teorię do tego znajdziesz np. na stronie: http://www.bryk.pl/teksty/liceum/pozostałe/matematyka/23430-asymptoty_ukośne.html co zaś tyczy się ekstremów, to trzeba zbadać pierwszą pochodną, sprawdzić, czy są x, dla których f(x)=0. Jeśli nie, to nie ma ekstremum, jeśli tak, to trzeba zbadać znak pochodnej w okolicy znalezionego x, dla którego ta pochodna się zerowała. f'(x)={2x(x−2)−1(x²−3)}/(x−2)²= (x²−4x+3)/(x−2)² f'(x)=0 ⇔x²−4x+3=0; Δ=4; x1=1; x2=3; 1 i 3 są punktami podejrzanymi o istnienie ekstremum f'(x)>0 ⇔x∊(−∞;1)u(3;∞) f'(x)<0 ⇔x∊(1; 3) w otoczeniu 1 pochodna zmienia znal z + na −, zatem w x=1 funkcja osiąga maximum, w otoczeniu 3 pochodna zmienia znak z − na + zatem x=3 funkcja osiąga minimum

Beata: do funkcji a) jej dziedziną jest R, więc asymptoty pionowej nie ma asymptota pozioma to y=0 bo limx→∞xe⁻x={z reguły d' Hospitala} =limx→(1/e^x)=0 ekstrema f'(x)=(1−x)/e^x f'(x)=0⇔1−x=0 ⇔x=1←punkt podejrzany o istnienie ekstremum f'(x)>0⇔(1−x)/e^x>0⇔1−x>0⇔x<1 f'(x)<0⇔(1−x)/e^x<0⇔1−x<0⇔x>1 w otoczeniu 1 pochodna zmienia znak z + na −, wobec tego w x=1 funkcja osiąga maksimum p.s. Przepraszam, poprzedni przykład wysłałam dwukrotnie

Artur z miasta Neptuna: Zuzik −−− jak Ci to opisywałem ... dokładnie te przykłady