Nierówności trygonometryczne Danieloo: Rozwiąż nierówność cosx + ctgx < 1 + sinx dla x∊(0;2π). Założyłem oczywiście, że sinx≠0. Doprowadziłem nierówność do postaci (sinx + 1)(sinx − cosx)>0 I nierówność zajdzie gdy oba nawiasy będą dodatnie lub oba ujemne, ale wiadomo, że sinx + 1 jest zawsze dodatni, jedynie dla x=³₂π wartość wynosi 0, więc zakładam, że jest zawsze dodatni a z dziedziny odrzucam x=³₂π. Czyli nierówność jest prawdziwa dla sinx − cox > 0, czyli sinx > cosx, czyli x∊(^π₄;^5π₄). Po uwzględnienie z dziedziną wychodzi, że x∊(^π₄;π)u(π;^5π₄). Niestety w odpowiedziach jest, że x∊(^π₄;π)u(^5π₄;^3π₂)u(^3π₂;2π). Ktoś poszuka błąd w moim rozumowaniu?

Danieloo: Może jednak ktoś rzuci okiem?

Danieloo: Pomóżcie biednemu maturzyście...

Godzio: Jestem ciekaw Twojego dojścia do tej postaci, sądzę, że zrobiłeś dość oczywisty błąd, jednak poczekam aż pokażesz skąd to się wzięło (sinx + 1)(sinx − cosx) > 0

Danieloo: cosx + ctgx < 1 +sinx, wiadomo oczywiście, że sinx≠0, dlatego mogę pomnożyć przez sinx. sinxcosx + cosx < sin²x + sinx cosx(sinx+1) < sinx(sinx + 1) sinx(sinx + 1) − cosx(sinx + 1) > 0 (sinx + 1)(sinx − cosx) > 0