Co ja pacze Uczen pani Białek: Zadanko z piekła rodem ... Dla jakich wartosci parametru m rownanie x⁴ +(m−1)x² + m² +4m − 5 =0 ma dwa rozne pierwiastki?

Basiek : Δ>0 i liczysz..... PS. Standardowe (ale jednak prostsze niż normalnie) zadanko z rozszerzonej matury

Godzio: Oj Basiek coś chyba nie tak

Uczen pani Białek: Naprowadz mnie , bo totalnie nie ogarniam ;<

krystek: poniewaz to jest "dwukwadratowe wiec jeden dodatni i jeden ujemny przy podstawieniu : x²=t i teraz t₁*t₂<0

Eta: Basiek ! ............bo zawał mi grozi

krystek: To z przemęczenia u Basiek ,nie pomyślała ! Do jutra ,.

Eta: Miłych snów krystek

Basiek : Może inaczej: źle spojrzałam

Homer: Równanie ax⁴ + bx² + c = 0 ma dwa rozwiązania wtedy gdy:

	−b
1) Δ = 0 i		> 0
	a

lub

	c
2)		< 0
	a

Uczen pani Białek: no to podstawiam ze x²=t , tego sie domyslilem tylko co dalej...

Basiek : Fajne, aż sobie zapiszę Pytanie brzmi: skąd Ty wytrzasnąłeś takie zadanie? I skąd się bierze, to co napisał Homer, a nie jest Iliadą, ani Odyseją? <myśli> Dlaczego suma pierwiastków dodatnia lub iloraz ujemny?

Uczen pani Białek: Skad te zadanko? Ze sprawdzianu ktory ostatnio pisalem.

Basiek : Ta Twoja nauczycielka... to chyba nie do końca taka no... . Przerost formy nad treścią?

Basiek : https://matematykaszkolna.pl/strona/1389.html A oto i ta strona przychodzi z pomocą..

Uczen pani Białek: Duzo nie pomoglo

Basiek : t=x² => t≥0 x⁴ +(m−1)x² + m2 +4m − 5 =0 t²+(m−1)t+m²+4m−5=0 Δ=(m−1)²−4(m²+4m−5)= m²−2m+1−4m²−16m+20= −3m²−18m+20 2 różne pierwiastki: Δ>0 −3m²−18m+20>0

Basiek : Ale! Nie tylko Δ>0, bo pierwiastki mają być dodatnie , prawda? t₁*t₂>0 t₁+t₂>0 I powinien być wynik, prawda? Oo

ZKS: Mają być 2 różne więc: Δ = 0 ∧ t_o > 0 lub Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0

Uczen pani Białek: tylko po co takie ciezkie liczby by dawala ... hmmm

Basiek : Jej, co ja pacze... co ja robię. Wjechałeś mi na ambicję... z Viete'a:

	c
{		>0
	a

	−b
{		>0
	a

{m²+4m−5>0 => m∊(−5,1) {1−m>0 => m<1 Czyli z tych dwóch warunków m∊(−5,1)

Basiek : Dlaczego iloraz pierwiastków ma być <0 i dlaczego Δ=0 dla 1. przypadku, skoro wtedy pierwiastek jest jeden tylko podwójny? Lub mówi się, że są dwa, ale TAKIE SAME?

ZKS: Na pewno jest jeden podwójny? Czy może dwa podwójne?

Basiek : Ej, ale odnosimy się do zmiennej t. Nie do początkowego działania, tak? Czuję się zagubiona... Nie lubię tego.

Uczen pani Białek: [img]http://i1.kwejk.pl/site_media/obrazki/64609-mozg-rozjebany.gif[/img]

Uczen pani Białek: e, nie dziala

ZKS: Ale to jest równanie dwukwadratowe nie kwadratowe. ax⁴ + bx² + c = 0 podstawiamy za x² = t² ≥ 0 at² + bt + c = 0 i dla Δ > 0 mamy postać a(t − v)(t − z) = 0 ⇒ a(x² − v)(x² − z) = 0 ⇒ a(x − √v)(x + √v)(x − √z)(x + √z) dla Δ = 0 a(t − v)² = 0 ⇒ a(x² − v)² = 0 ⇒ a(x − √v)²(x + √v)² = 0 gdzie v , z są pierwiastkami równania ∧ v , z > 0.

Basiek : Ja też: http://i1.kwejk.pl/site_media/obrazki/64609-mozg-rozjebany.gif

Basiek : Niech mnie ktoś oświeci jeszcze, czy Δ ma być >0 A resztę chyba... rozumiem O.o PSZKS Naprawdę podziwiam Cię za cierpliwość, mąąądrość i wiele innych przymiotów, ale niewiele zrozumiałam. Jak ogarnę całość, to Uczniu pB (możesz podać inny zwrot, którym można się posługiwać mówiąc do Ciebie?) postaram się Ci przekazać po ludzku

Uczen pani Białek: Mow jak ci sie podoba, mam nadzieje ze jutro wytlumaczy mi to pani , jak zrozumie jej przeslanie to dam tu rozwiazanie

ZKS: Tak dla Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0 (jeden pierwiastek dodatni jeden ujemny) ale to nie wszystkie warunki ponieważ dla Δ = 0 ∧ t_o (jeden pierwiastek podwójny dodatni). Δ > 0 t₁t₂ < 0 (v i z są pierwiastkami i v > 0 ∧ z < 0) a(t − v)(t + z) = 0 (wychodzimy do podstawienia t = x²) ⇒ a(x² − v)(x² + z) = 0 ⇒ ⇒ a(x − √v)(x + √v)(x² + z) = 0 Δ = 0 ∧ t_o > 0 (v jest podwójnym pierwiastkiem) a(t − v)² = 0 (wychodzimy do podstawienia t = x²) ⇒ a(x² − v)² = 0 ⇒ ⇒ a(x − √v)²(x + √v)² = 0 Rozumiesz?

Uczen pani Białek: Nie rozumiem , nigdy nie mialem takiego czegos przed oczami , to musi byc prostsze ...

Basiek : ZKS jak tu Cię nie kochać... Sądzisz, że my tu to pojmiemy? Chyba nie w ten sposób...

Eta: Echh

ZKS: Dam wam konkretny przykład gdzie mamy dwa różne pierwiastki dla Δ > 0 i Δ = 0.

ZKS: Eta

Basiek : Okej, to zaczynam swoje tłumaczenie 1) podstawiamy t−> dotąd ogarniamy. 2) rozważamy, kiedy to równanie ma dwa pierwiastki różne... 2 różne. I teraz ja zrozumiałam to tak. "Pacze" od tyłu w najlepszym wypadku to coś mogłoby mieć 4 pierwiastki. (bo √t₁, −√t₁, √t₂, −√t₂) Pozbądźmy się więc tych dwóch... myślę sobie "Jak?" Prosto... bo mamy założenie , że t=x² a my wiemy, że x²≥0 więc rozwiązań nie będzie, jeżeli JEDNO z naszych t wyjdzie nam UJEMNE ;> więc Δ>0 i t₁ *t₂<0 (dwa różne pierwiastki dla podstawienia z t, jeden pierwiastek dodatni, jeden ujemny,więc tylko tyle możemy stwierdzić, że iloraz jest ujemny)−> część wspólna i cacy. ____________________________________________________ Tu wydawałoby się − taaak, jest zrobione, ale trzeba przemyśleć jedną sprawę... a jeśli t₁= t₂ ? Jak będą wyglądać pierwiastki? √t₁ i −√t₁ Dwa? − no są dwa. Różne? No różne... więc warunki dla nich zróbmy: Δ=0 , no ale żeby to zachodziło to też znów t=x²=> t>0 __________________________________________________________ Mam nadzieję, że zrozumiałe, bo się wiesz... naprodukowałam

ZKS: Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0 (Δ = 5 ∧ t₁t₂ = −4) x⁴ + 3x² − 4 = 0 x² = t ≥ 0 t² + 3t − 4 = 0 Δ = 25 √Δ = 5

	3 − 5
t1 =		= −1
	2

	3 + 5
t2 =		= 4
	2

(t + 1)(t − 4) = 0 (wracamy do podstawienia t = x²) (x² + 1)(x² − 4) = 0 (x² + 1)(x + 2)(x − 2) = 0 x² + 1 = 0 jest nie rozkładalne więc nie posiada pierwiastków rzeczywistych x + 2 = 0 ⇒ x = −2 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 Więc dostajemy dwa różne pierwiastki dla Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0.

ZKS: x⁴ − 3x² − 4 = 0

Godzio: ZKS jak tam BF ? Będzie niedługo bo mam 2 tygodnie ferii więc ...

Uczen pani Białek: Mam juz mysli samobojcze, dosyc matmy na dzis...

ZKS: O to chodzi Basiek właśnie tam nie potrzebnie pisałem pierwiastki jako v i z mogłem dla lepszego zrozumienia wam napisać tak jak Ty napisałaś t₁ oraz t₂.

ZKS: W weekend mam nadzieje że się wybiorę do sklepu bo jeszcze muszę jutro oddać teczkę z rysunkami z krechy. (zarobiłem 200zł więc kasa jest )

Basiek : Oświeciło mnie, dopiero jak poszłam sobie, żeby na chwilę przestać o tym myśleć i dotarło do mnie, że mam mieć TYLKO dwa ... no i od razu doszłam do odpowiednich wniosków/ rozwiązań. Aczkolwiek Twoje rozwiązania wyglądają niezwykle mądrze i inteligentnie Dzięki za masę cierpliwości.

Godzio: No to git, czekam z niecierpliwością

Mila: 1) Δ=0 dla m=−7 lub m=1 dla m=−7 obliczam t: t=4 zatem są dwa rozwiązania dla m=1 obliczam t t=0 nie odpowiada nam 2) Δ>0 i t₁*t₂ <0 tego już nie liczyłam dokładnie, ale chyba dla m∊(−5,1). Moglam się pomylić w rachunkach.