Twierdzenie Matt: Wykazać ze równanie 3x³ − x + 1 = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale [ 1; 1]: Sformuowac twierdzenie, z którego ten fakt wynika. Co to za twierdzenie? I jak to wykazać?

ZKS: Twierdzenie Darboux.

ZKS: Po za tym jeżeli masz przedział <1 ; 1> to pierwiastek jest równy u Ciebie 1 ponieważ zbiór ten jest jednoelementowy więc zły napisałeś przedział.

Matt: Hm, dzięki. A jak to wykazać? Twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich.. Co to znaczy? Dało by radę przełożyc z polskiego na nasze?

Matt: [−1, 1] sory;>

ZKS: f(−1) = −1 f(1) = 3 f(−1) * f(1) < 0 więc miejsce zerowe znajduje się w przedziale <−1 ; 1> można jeszcze ten przedział zmniejszać f(−1) = −1 f(0) = 1 f(−1) * f(0) < 0 czyli miejsce zerowe znajduje się w przedziale <−1 ; 0>.

Matt: Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy matematycznej mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux, czyli w szczególności, każda funkcja ciągła f w przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) (lub f(b) i f(a), gdy f(b)<f(a)). Czyli że jak.. Jak funkcja jest ciągła, to na jakimś tam przedziale przyjmuje wszystkie wartości od f(a) do f(b). Czyli ta nasza jest ciagła. Bo to zlepek funkcji elementarnych ciągłych. I z tego wynika jest ma rozwiązania w [−1,1]? Przecież to sensu nie ma xD

Matt: Aaaa, dzięki.. Teraz to logiczne.. Dzięki. Egzamin z analizy się zbliża. Czas pojąc te twierdzenia ;x

ZKS: To się uczy ja mam szczęście i jestem zwolniony z egzaminu.

Matt: U nas nie można byc zwolnionym. Ćw zaliczone na aż 3.

ZKS: No to ja troszkę lepiej niż 3. U nas można być jeżeli dobrze się kolokwia pisało.

Kot admin. Co ja pacze? : ZKS jesteś zwolniony i masz od razu 5 z egzaminu czy jak to jest?

Matt: No moje równo wszystkie po 3 xd ale za to za 1 razem wszystkie. No dobra pochodna na 3,5. Ale to nic nie dawało. Teraz rozkminiam wymagania.. Hmm xd

ZKS: Tak mam 5 od razu z egzaminu.

Kot admin. Co ja pacze? : Ja niestety musiałem pisać egzamin

Matt: Gratuluje

ZKS: Dziękuję. A wyniki masz z egzaminu?

Matt: Twierdzenie 2.31 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). − A to przetłumaczyć na nasze?

Kot admin. Co ja pacze? : 97/100 za to że nie znam wzorów na pierwiastki równania kwadratowego

ZKS: Istnieją takie liczby c₁ i c₂ że f(c₁) = inf f(x) oraz f(c₂) = sup f(x) czyli po prostu funkcja osiąga swój kres dolny i swój kres górny.

Matt: Y, czym się różni kres od granicy... ? ...

ZKS: No to gratulację za taki wynik.

Matt: Podać definicje pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretacje geometryczną. Pochodna funkcji w punkcie? Takie czegos na cw ne było... Interpretacja geometryczna.. Cos z ciągłością? Funcja jest różniczkowalna wtedy kiedy jest ciągła? Czy jeszcze jakieś wymogi ma?

Matt: http://www.matematyka.pl/latexrender/pictures/d/7/d71b2b1fc119fa41fec82323c88c719d.png tak sie oblicza pochodną funkcji w punkcie?xD

ZKS: Hmm czymś takim to już się nie zajmuję. Kres dolny ogranicza zbiór z dołu (lub nie ma liczby większej o tej własności) podobnie dla kresu górnego.

ZKS: Interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji nie mieliście na wykładach?

ZKS: A pochodna funkcji w punkcie w czym problem liczysz pochodną i wstawiasz daną liczbę w miejsce x.

Matt: Pochodnej − to współczynnik kiernkowy stycznej do funkcji. A pochodna w punkcie?;x

ZKS: Definicja pochodnej w punkcie.

	f(xo − h) − f(xo)
f'(xo) = limh → 0
	h

ZKS: Tam powinno być f(x_o + h) chochlika walnąłem.

Matt: Yyy, no ok.. A takei cos: Napisac równanie stycznej (o ile istnieje) do wykresu funkcji f w punkcie x₀ a) x³−x x₀=1 pochodna to 3x²−1 wartość pochodnej dla 1 to 2 Więc styczna to y=2x?

ZKS: Tutaj masz wszystko ładnie napisane 379.

Matt: Like it. Dzięki, juz analizuje;>

ZKS: To analizuj analizę.

Matt: Jeśli funkcja jest różniczkowalna w x₀ to jest ciągła w x₀. Odwrotne: Funkcja jest ciągła w x₀ jesli jest różniczkowalna w x₀. Przeciwstawne: Funkcja nie jest ciągła w x₀ jeśli nie jest różniczkowalna w x₀. Dobrze te zdania zrobiłem? I czy ona są prawdą?

ZKS: A co tym masz zadania z samej teorii?

Matt: Niee, ale na egzaminie jest tego więszość. Zaliczyem ćw więc jako tako umiem to obliczać. Ale mamy zadania typu: Masz ciąg i powiedz czzy jest zbieżny czy rozbieżny. Podaj twierdzenie np o 3 ciągach. Oblicz granicę ciągu. Albo masz podane asymptoty i narysować wykres funkcji xd Co potrzeba by funkcja była różniczkowalna?

ZKS: Aby funkcja była różniczkowalna w danym punkcie kiedy granica lewostronna i prawostronna są sobie równe.

ZKS: Ale po polsku napisałem widać że już czas na spanie u mnie nadszedł.

Matt: JA tez juz nie daje rady. Mógłbyś mi to jutro napisać jako sensownie? Chyba że ciągłość funkcji gwarantuje jej różczkowalność po prostu?

ZKS: Nie bo na przykład funkcja f(x) = |x| jest ciągła ale nie ma pochodnej w punkcie x = 0 ponieważ granica lewostronna i granica prawostronna nie są sobie równe.

Matt: http://i.imgur.com/NHxNy.jpg czym jest ten pkt x₀?

Matt: Proszę jeszcze o przełożenie na Polski mi warunków koniecznych ekstrem lokalnych, oto one: http://i.imgur.com/CQNUu.jpg