rozwiąż równanie różniczkowe Saviola: x−y²+2xydy/dx=0

M:

Mariusz: To jest równanie Bernoulliego ale nie potrzeba sprowadzać go do postaci y' +P(x)y=Q(x)y^r wystarczy podstawić u = y² u =y²

du		dy
	= 2y
dx		dx

Po podstawieniu mamy

	du
x		− u +x = 0
	dx

	du
x		− u = −x
	dx

Tutaj proponuję uzmiennienie stałej Na początek, gdy chcemy dowiedzieć się jak rozwiązywać takie równania tak będzie lepiej. Później możemy się bawić w szukanie szybszych rozwiązań Rozwiązujemy równanie jednorodne

	du
x		− u = 0
	dx

	du
x		= u
	dx

du		dx
	=
u		x

ln|u| = ln|x|+C₁ |u| = e^C₁|x| u = ±e^C₁x u = C₂x Przyjmujemy że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci u(x) =C(x)x

	du
x		− u = −x
	dx

x(C'(x)x + C(x)) − C(x)x = −x C'(x)x² +xC(x) − C(x)x = −x C'(x)x² = −x

	1
C'(x) = −
	x

C(x) = −ln(x) u_s(x) = −xln(x) Całka ogólna równania niejednorodnego jest równa sumie całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego u(x) = Cx − xln(x) y²(x) = Cx − xln(x) Możemy podać rozwiązanie w postaci uwikłanej y² = Cx − xln(x) y² + xln(x) = Cx

y2 + xln(x)
	= C
x