przebieg zbieżności. GoodYou : 1. Zbadaj przebieg zbieżności funkcji: x²+x+1/x²−1 2.Najmniejsza i najwieksza wartość w danym przedziale. f(x)=x³−3x <−2,4> W tym drugim stanąłem na ekstremach, bo nie wiem czy liczyć pochodną czy co. a w pierwszym w ogóle topornie. Muszę to jutro oddać. Jakby ktoś opisał krok po kroku na tym przykładzie było by super. Dziękuje za pomoc. ;>

Artur z miasta Neptuna: 1. D= R/{0}

	2
f' = 3x2 +x −
	x3

f' = 0 ⇔ 3x⁵+ x⁴−2 = 0 ∨ x=0 tutaj miejsce zerowe wynosi ≈ 0.86 ∨ 0 f↗ w (−∞, 0) i w (0.86; ∞) f↘ w (0; 0.86)

Artur z miasta Neptuna: 2. D_f = R f' = 3x² − 3 f' = 0 ⇔ x² − 1 = 0 ⇔ x=−1 ∨ x=1 ze szkicu wykresu pochodnej wiesz, że w x = −1 istnieje maksimum lokalne (ale niekoniecznie globalne) oraz w x=1 istnieje minimum lokalne (ale niekoniecznie globalne). Dlatego wyliczasz: f(−2) = −8 + 6 = −2 f(−1) = −1 + 3 = 2 f(1) = 1 − 3 = −2 f(4) = 64 − 12 = 52 najmniejsza wartość to −2 największa to 52 w przedziale x∊<−2;4>

GoodYou : dzięki. Ale w tym pierwszym chyba nie ma tego wszystkiego czego wymaga nasz wykladowca na notatkach takie zadanie zajmuje 2 strony. hmmm Mam coś takiego z wikipedii. Własności wynikające wprost ze wzoru funkcji: Dziedzina funkcji i punkty nieciągłości Punkty przecięcia z osiami: z osią 0X – miejsca zerowe z osią 0Y – wartość w zerze. Własności szczególne, takie jak parzystość, nieparzystość, okresowość, ciągłość itp. Granice na końcach przedziałów określoności Asymptoty Własności wynikające z pierwszej pochodnej Obliczenie pochodnej i wyznaczenie jej dziedziny Przedziały monotoniczności Ekstrema lokalne funkcji Własności wynikające z drugiej pochodnej Obliczenie drugiej pochodnej i wyznaczenie jej dziedziny Przedziały wypukłości i wklęsłości Punkty przegięcia Zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki na podstawie wiadomości uzyskanych z punktów 1−4 i określenie zbioru wartości funkcji Szkic wykresu funkcji

GoodYou : dzięki. Ale w tym pierwszym chyba nie ma tego wszystkiego czego wymaga nasz wykladowca na notatkach takie zadanie zajmuje 2 strony. hmmm Mam coś takiego z wikipedii. Własności wynikające wprost ze wzoru funkcji: Dziedzina funkcji i punkty nieciągłości Punkty przecięcia z osiami: z osią 0X – miejsca zerowe z osią 0Y – wartość w zerze. Własności szczególne, takie jak parzystość, nieparzystość, okresowość, ciągłość itp. Granice na końcach przedziałów określoności Asymptoty Własności wynikające z pierwszej pochodnej Obliczenie pochodnej i wyznaczenie jej dziedziny Przedziały monotoniczności Ekstrema lokalne funkcji Własności wynikające z drugiej pochodnej Obliczenie drugiej pochodnej i wyznaczenie jej dziedziny Przedziały wypukłości i wklęsłości Punkty przegięcia Zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki na podstawie wiadomości uzyskanych z punktów 1−4 i określenie zbioru wartości funkcji Szkic wykresu funkcji

Artur z miasta Neptuna: oki ... już wiem ... myslałem że TYLKO monotoniczność więc daj mi chwilkę

Artur z miasta Neptuna: chwila chwila

	x2+x+1
tam f(x) =
	x2−1

	1
czy f(x) = x2 + x +		− 1
	x2

	1
czy f(x) = x2 + x +
	x2−1

zapewne to pierwsze −−− jeżeli tak to proszę pamiętać o nawiasach (albo nauczyć się zapisów na forum)

Artur z miasta Neptuna:

	x2+x+1
f(x) =		; Df = R\{−1,1}
	x2−1

	x2−x+1
f(−x) =		≠ f (x) (f nie jest parzysta)
	x2−1

	−x2+x+1
−f(−x) =		≠ f(x) (f nie jest nieparzysta)
	x2−1

asymptoty pionowe:

	3
limx−>−1− f(x) = [		] = ∞
	0+

	3
limx−>−1+ f(x) = [		] = −∞
	0−

	1
limx−>1− f(x) = [		] = −∞
	0−

	1
limx−>1+ f(x) = [		] = ∞
	0+

asymptoty poziome: lim_x−>−∞ f(x) = 1 lim_x−>∞ f(x) = 1 Pochodna 1 rzędu:

	(2x+1)(x2−1) − (x2+x+1)(2x)		x2+4x+1
f' =		= −
	(x2−1)2		(x2−1)2

f' = 0 ⇔ x²+4x+1 = 0 ⇔ x = −2 − √3 (coś mniejszego od −1)∨ x = −2 + √3 (coś wiekszego od −1 a mniejszego od 1) f↘ w (−∞, x₁), w (x₂, 1) i w (1, +∞) f↗ w (x₁, −1), w (−1, x₂) f posiada minimum lokalne w x₁ (wyznacz wartość f(x₁)) f posiada maksimum lokalne w x₂ (wyznacz wartość f(x₂))

Waka:

Artur z miasta Neptuna: pochodna 2 rzędu:

	(2x+4)(x2−1)2−(x2+4x+1)2(x2−1)(2x)
f'' = −		=
	(x2−1)4

	x5+6x4+x3−4x2−3x−4
= 2
	(x2−1)4

D_f'' = D_f f'' = 0 ⇔ x⁵+6x⁴+2x³−4x²−3x−2 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = −2 − ³√3 −3^2/3 ≈ −5.5 punkt przegięcia TYLKO dla x₃ (x₁ = −1 i x₂=1 nie należą do D_f = D_f' = D_f'') f wypukła gdy f''> 0 czyli f wypukła w (x₃, −1) i w (1, ∞) f wklęsła gdy f''<0 czyli f wklęsła w (−∞, x₃) i w (−1,1) zapomniałem: na początku jeszcze wyliczasz punkty przecięcia wykresu z osiami OX i OY z OX:

	x2+x+1
0 =		⇔ x2+x+1 = 0 sprzeczne bo ∀x∊Df x2+x+1 >0
	x2−1

z OY:

	0+0+1
y =		= −1
	0−1

Artur z miasta Neptuna: A −−− punkt przegięcia (wylicz wartość funkcji w tym punkcie) B −−− minimum lokalne (wylicz wartość funkcji w tym punkcie) C −−− maksimum lokalne (wylicz wartość funkcji w tym punkcie)

Artur z miasta Neptuna:

GoodYou : Wielkie dzięki. Masz u mnie dużo piwo =>