Ania: Zbadać czy ciąg jest ograniczony: an=tg(1/n).Czy to jest takie trudne, czy tylko mi się wydaje?

Jakub: n jest rozbieżne do nieskończoności więc 1/n jest zbieżne do 0. Z tego wynika, że ciąg a_n = tg(1/n) jest zbieżny do zera. Jeżeli ma granicę to musi być ograniczony, co wynika z definicji granicy ciągu.
Tak bym uzasadnił ograniczoność tego ciągu.
Zadanie banalne, ale tylko wtedy jeżeli dobrze się rozumie podstawowe pojęcia (granica ciągu).

Ania: Piękne dzięki. A czy potrafisz narysować wykres takiej funkcji y= tg (1/n) ?

Jakub: Dosyć trudna sprawa z tym wykresem funkcji. Trzeba by liczyć dla
n=1 tg1=... <- 1 w mierze łukowej a nie stopniowej
n=2 tg2=.. <- 2 to samo co wyżej.
itd.
Następnie zaznaczać na osi liczbowej punkty.

b.: raczej
n=1: tg1=... (trochę mniej niż tg(π/3)=√3/2, ale więcej niż tg(π/4)=1),
n=2: tg(1/2)=... (nie tg2)
itd.

Do rysowania z grubsza warto wiedzieć, ze tg x > x dla x z przedzialu (0, π/2), oraz że dla ,,małych'' x (bliskich 0) tg x jest tylko ,,nieco'' większy od x.
Czyli w zasadzie rysujemy ciąg 1/n, a ciąg tg(1/n) będzie leżał nieco powyżej (dla dużych n w przybliżeniu tg(1/n)=1/n, przynajmniej na rysunku...).

Jakub: Faktycznie pomyłka z tym tg2
Czyli podsumowując,
-dla n=1, będziesz miała kropkę trochę wyżej niż 1
-dla n=2, będziesz miała kropkę trochę wyżej niż 1/2
-dla n=3, będziesz miała kropkę trochę wyżej niż 1/3
itd.