Rownanie trygonometryczne Krl: cos⁴x−sin⁴x=sin4x Rozwiązałem to, lecz mam za dużo rozwiązań, może mi któreś wywalicie Otóż dochodze do takiego momentu gdy: (cos²x+sin²x)=4sinxcosx(cos²x−sin²x) Tutaj sobie rozdzielam na alternatywe: (cos²x+sin²x)≠0 , dziele i wychodzą dobre rozwiazania (x = ^π₁₂ x = ^5π₁₂) lub (cos²x+sin²x)=0 → wychodzi mi z tego ,że x = ^π₄ lub x = −^π₄ tego z minusem nie ma w rozwiązaniach, czy ktoś mi wytłumaczy czemu?

Krzysiek: cos² x+sin² x =0 ?... przecież lewa strona jest równa 1 (jedynka trygonometryczna)

Krl: ahh błąd TAM PO LEWEJ TEZ JEST MINUS,

ZKS: cos⁴x − sin⁴x = sin4x (cos²x − sin²x)(cos²x + sin²x) = sin4x (cos²x − sin²x) = cos2x sin²x + cos²x = 1 cos2x = sin4x

	π
sin4x = sin(		− 2x)
	2

	π		π
4x =		− 2x + k * 2π ∨ 4x = π −		+ 2x + k * 2π
	2		2

	π		π
6x =		+ k * 2π ∨ 2x =		+ k * 2π
	2		2

	π		π		π
x =		+ k *		∨ x =		+ k * π
	12		3		4

Krl: A czy w moim myśleniu jest błąd gdzieś? BO mój sposób też wydaje się być ok a wychodzi źle

ZKS: Napisz wszystko po kolei bo z Twojego zapisu nie mogę za bardzo odczytać.

Krl: cos⁴x−sin4x=sin4x (cos²x−sin²x)(cos²x+sin²x)=2sin2xcos2x (cos²x−sin²x) *1=4sinxcosxcos2x cos²x−sin²x=4sinxcosx(cos²x−sin²x) W tym momencie dziele przez cos²x−sin²x zakładając, że wyrażenie to ≠0 4sinxcosx=1 sin2x=¹₂ → x=^π₁₂ +kπ lub x=^5π₁₂ +kπ Teraz patrzę co się dzieje jeżeli cos²x−sin²x=0 Z tego wychodzi mi, że tgx=1 lub tgx=−1 → x=^π₄ lub x= −^π₄ Tego drugiego z minusem nie ma wiesz czemu?

ZKS: A czy sin4x = 2sin2xcos2x ?

Krl: Yyyy.... a nie jest tak?

ZKS: Chyba nie bardzo.

ZKS: Ale poczekaj bo coś mi się pomieszało.

Krl: Heh. No sin2x=2sinxcosx sin4x=2sin2xcos2x czyż nie?

ZKS: W porządku jest to sprawdzę do końca za chwilę to.

ZKS:

	π
Zakładając że cos2x − sin2x ≠ 0 przecież to może być 0 dla		gubisz rozwiązanie.
	4

ZKS: cos²x − sin²2x = 4sinxcosx(cos²x − sin²x) cos²x − sin²2x − 4sinxcosx(cos²x − sin²x) = 0 (cos²x − sin²x)(1 − 4sinxcosx) = 0 cos2x(1 − 2sin2x) = 0

ZKS: Tam 2 mi się wkradła prze sin²x.

Krl: Wiem wiem potem pisałem że rozważam osobno ten przypadek. A własnie a propos: cos²x−sin²x=0 spełniają x = π/4 lub x= −π/4 czyż nie?

ZKS:

π		π
	+ k *
4		2

Krl: To jest właśnie jedyna rzecz jakiej nie rozumiem. Dla mnie to wygląda tak: |cosx|=|sinx| cosx=sinx →tgx=1 → x=π/4 lub cosx=−sinx →tgx=−1 →x= − π/4

Krl: Nie rozumiem czemu to rozwiązanie z minusem wypada

ZKS: Masz cos2x = 0

	π		3
2x =		+ k * 2π ∨ 2x =		π + k * 2π
	2		2

	π		3
x =		+ k * π ∨ x =		π + k * π
	4		4

	π		π
A to można zapisać jako x =		+ k *		ponieważ te wyniki powtarzają się o okres
	4		2

	π
	2

Krl: No teraz ok, ale wciąz nie widzę błedu w moim rozumowaniu

ZKS: Ale masz podać odpowiedź w danym przedziale czy dla każdego kąta?

Krl: Ma być normalny przedział tak jak napisałes. tylko nie rozumiem czemu nie może bycc x= −π/4, bo moim zdaniem to spełnia nierówność cos²x−sin²x=0

ZKS: A dla k ∊ C równego −2 nie będzie przypadkiem Twojego rozwiązania. Piszę że pewnie oni

	π
uprościli zapis ponieważ wyniki się powtarzają o okres		.
	2

Krl: A czy x=^π₄ +^kπ₂ jest jednoznaczne z x = ^π₄+kπ + x=^−π₄+kπ

Krl: BO mnie się wydaje że tak lecz pewności brak

ZKS:

	π		π		π
To wstaw sobie za k = −1 do x =		+ k *		i zobacz czy dostaniesz x = −		.
	4		2		4

Krl: No tak π/4−π/2=−π/4. Heh czyli od początku dobrze miałem oni po prostu to wsadzili w jedno. Dzięki wielkie za pomoc

ZKS: A proszę Cię bardzo.