Rozw.zadań AS: Podaję rozwiązania zadań przeze mnie zaproponowanych, a których nikt nie rozwiązał.Oto one. Zad. 1 Przedstawić iloczyn sin³(x)*cos⁵(x) w postaci wielomianu względem funkcji wielokrotności kata x.

	1		1
sin3(x)*cos5(x) = (sin(x)*cos(x))3*cos2(x) = (		sin(2x))3*		(1 + cos(2x)) =
	2		2

1
	sin2(2x)*(sin(2x) + sin(2x)*cos(2x)) =
16

1		1		1
	*		(1 − cos(4x))(sin(2x) +		sin(4x)) =
16		2		2

1		1		1
	(sin(2x) +		sin(4x) − cos(4x) sin(2x) −		cos(4x)*sin(4x)) =
32		2		2

	1
ale cos(4x)*sin(2x) =		(sin(6x) − sin(2x)
	2

	1
cos(4x)*sin(4x) =		sin(8x) więc
	2

	3		1		1		1
sin3(x)*cos5(x) =		sin(2x) +		sin(4x) −		sin(6x) −		sin(8x)
	64		64		64		128

Zad 2. (trudne) Obliczyć bez użycia tablic P = tg20^o*tg40^o*tg60^o*tg80^o Iloczyn ten można przedstawić w postaci

	sin20o*sin40o*sin60o*sin80o
P =
	cos20o*cos40o*cos60o*cos80o

	1
Wykażemy najpierw,że cos20o*cos40o*cos60o*cos80o =
	16

	3
a następnie,że sin20o*sin40o*sin60o*sin80o =
	16

Mamy kolejno: sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) sin(4x) = 2*sin(2x)*cos(2x) sin(8x) = 2*sin(4x)*cos(4x) Stronami mnożymy i dzielimy obustronnie przez sin(2x)*sin(4x) sin(2x)*sin(4x)*sin(8x) = 8*sin(x)*cos(x)*sin(2x)*cos(2x)*sin(4x)*cos(4x) sin(8x) = 8*sin(x)*A gdzie A = cos(x)*cos(2x)*cos(4x) W szczególności dla x = 20^o mamy sin160^o = 8*sin20^o*B gdzie B = cos20^o*cos40^o*cos80^o Ale sin160^o = sin(180^o − 20^o) = sin20^o

	sin160o		1
Wobec czego B =		=
	8*sin20o		8

	1		1		1
Dalej B*cos60o =		*		=
	8		2		16

	1
sin20o*sin40o =		*(cos20o − cos60o)
	2

Ponieważ sin100^o = sin80^o mamy

	1		√3
sin20o*sin40o*sin60o*sin80o =		(cos20o − cos60o)*		*sin80o =
	2		2

√3		1
	(cos20osin80o −		sin80o) =
4		2

√3		1		1
	[		(sin100o + sin6oo) −		sin80o] =
4		2		2

√3		√3		√3		3
	*sin60o =		*		=
8		8		2		16

	3		1
Zatem P =		/		= 3
	16		16

Zad. 3 Sprawdzić tożsamość 1 + cos(2α) + cos(4α) + cos(6α) = 4cos(α)*cos(2α)*cos(3α) L = (cos(6α) + 1) + (cos(4α) + cos(2α)) = 2cos(3α)*cos(3α) + 2*cos(3α)*cos(α) = 2cos(3α)(cos(3α) + cos(α)) = 2cos(3α)[2cos(2α)*cos(α)] = 4cos(α)*cos(2α)*cos(3α)

pigor: ... no to ja jeszcze raz b) tg20 tg40 tg60 tg80 =

	(2sin20 sin40) sin60 sin 80
=		=
	(2cos20 cos40) cos60 cos80

	(cos20−cos60) sin80
=		=
	(cos60+cos20) cos80

	2cos20 sin80−2 *0,5 sin80
=		=
	2*0,5 cos80+2cos20 cos80

	(sin100+sin60) − sin(180−100)
=		=
	cos(180−100)+(cos100+cos60)

	sin100 +sin60− sin100		sin60
=		=		= tg60 =√3 ...
	−cos100 + cos100 +cos60		cos60

AS:

	sin60
W drugim rzędzie w ułamku nie mogę znaleźć
	cos60

Wtedy w wyniku końcowym otrzymamy √3*√3 czyli 3

pigor: no jasne , dzięki skupiłem się na wzorach, a zapomniałem podstawić już w tamtym miejscu tg60=√3 i ciągnąc do końca, wtedy byłoby √3*√3= 3