liczby zespolone Bartek: Wie ktoś jak to rozgryźć?Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podany warunek: |2iz + 6|≤4 Wiem, że i=(0,1) oraz że |z|=√x² + y², ale dalej nie wiem...co mam zrobić z 2iz ? Jeśli chodzi o całość, pomyślałem sobie, że można z tego zrobić takie coś: |2iz −(− 6)|≤4 Ale dalej nie wiem.

pigor: |2iz+6|≤4 i niech z=x+iy , to 2|i(x+iy)+3|≤4 /:2 , czyli |ix−y+3|≤2 /² obustronnie |3−y+ix|²≤4 , czyli (3−y)²+x²≤ 4 , a więc x²+(y−3)²≤ 2² , a to jest zbiór punktów z=(x,y) koła o środku w (0,3) i promieniu r=

Bartek: Nie rozumiem tego, co jest po lewej od "obustronnie". Czemu napisałeś |ix−y+3|≤2 ? Przecież jest : |ix +i²y +3| Czemu tam jest znak "−" i czemu jest zjedzone i² ?

Bartek: Okej, już mam. Przecież i²=(−1,0) czyli −1. Analizuję dalej

pigor: bo | i*(x+iy)+3 | = | ix+i²y+3 | = | ix−y+3 | , bo i²=−1

Sławek: Doprowadzasz wyrażenie do postaci: |z − z₀| ≤ r z₀ to współrzędne środka koła o promieniu r Wykorzystaj też poniższą własność modułu liczby zespolonej: |z₁ * z₂| = |z₁| * | z₂| |2iz + 6| ≤ 4

	3
|2i(z +		)| ≤ 4
	i

	3
|2i| |(z +		)| ≤ 4
	i

|2i| |(z − 3i)| ≤ 4 2 |z − 3i| ≤ 4 |z − 3i| ≤ 2

Bartek: Okej, to doszedłem już do tego: |ix +(3−y)|²≤4 czyli (3−y)²+x²≤ 4 Jeżeli jednak i²=−1, to dlaczego po zniesieniu modułu jest "+x²" ? Załapałem, że właśnie z powodu opuszczenia modułu, ale nie jestem pewny...

Sławek: Wydaje mi się, że w zestawieniu z treścią zadania zaproponowane przeze mnie rozwiązanie jest lepsze. Cytat: Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podany warunek:

Bartek: Rany julek, jakie to się proste wydaje teraz. Nie rozumiem jednak jednego. Przecież i to jest (0,1). Więc 2i=(0,2) Dlaczego więc po opuszczeniu modułu |2i| jest 2 ? Myślałem, że 2*(1,0)=2 a nie 2*(0,1) . Zatem czy liczbę 2 można zapisać w postaci liczby zespolonej (0,2) czy (2,0) Bo to jest właśnie nieścisłość, które mnie męczy.

Sławek: Bo z= x + iy |z|= √x²+y² czyli z = 2i |z|= √0² + 2² = √4 = 2

Sławek: Jeżeli zapisujesz liczbę zespoloną jako uporządkowana parę liczb rzeczywistych (x,y) to w postaci algebraicznej (z=x+iy) liczby zespolonej 'x' oznacza część rzeczywistą a 'y' część urojoną.

Bartek:

	3
A czemu liczbę		zastąpiłeś liczbą −3i ? Czy liczba −3i=(0,−3)
	i

Sławek: Bo

3		3*i		3*i
	=		=		= −3i
i		i*i		−1

i² = −1

Bartek: Rany, dzięki Sławek. Wiesz, teraz usiłuję rozgryźć inne, ale wychodzą mi jakieś głupoty. Zacząłem o tak: 2<|z+2−i|≤3 więc mam |(z +2) −i|>2 |(z +2) −i|≤3 teraz to do kwadratu wychodzi mi jednak coś takiego i nie wiem czy jest ok: |(z+2)² −i²|>2² czyli mam (z+2+i)(z+2−i)>4 i co? działać dalej czy to pomysł do bani?

Bartek: Oczywiście jeszcze moduł dochodzi, ale już zapomniałem o nim.

Bartek: Czyli do bani Okej, to myślę dalej.

Sławek: 2 < |z+2−i| ≤3 2 < |z − (−2+i)| ≤3

Bartek: kurcze, że ja zawsze widzę to, co widzi humanista a nie to,co widzi matematyk. Niech to.. Ale rozumiem, że najpierw robię: |z − (−2+i)|>2 a potem |z − (−2+i)| ≤3. No tak ..tylko, że nie wiem jednego. Czy działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej można łączyć z postacią (x,y). Bo nie wiem czy teraz ma wykonać dodawanie (−2+i)=(−2,1)

Sławek: To będzie pierścień. Promień zewnętrznego koła R = 3, mniejszego (bez okręgu − bo nierówność jest ostra) r = 2. Środek w punkcie z₀ = −2 +i

Bartek: Rozumiem, że to ma być między kołami. Nie chwytam jednak jednego. Dlaczego ten nasz środek (−2,1) jest początkiem promieni r oraz R skoro geometrycznie modułem liczby zespolonej z jest odległość punktu z od początku układu współrzędnych?

Bartek: Okej, okej, już chyba zrozumiałem.

Bartek: Zrozumieć zrozumiałem i podobne przykłady już rozwiąże, ale mam jeszcze taki jeden nie podobny.Gdyby chodziło tylko o licznik albo tylko o mianownik, to byłoby proste. Tu chodzi jednak o iloraz, do którego mi już siło brakuje:

	z−3		z		3
|		|>1 i to zaczałem robić tak: |		−		|>1 teraz nie wiem..
	z−3i		z−3i		z−3i

Bartek: Sławek to już pewnie dał sobie ze mną spokój, ale może ktoś inny? Please...

Sławek:

	z−3
|		| > 1
	z−3i

wykorzystujemy własność

	z1		|z1|
|		| =
	z2		|z2|

i w twoim przykładzie dla z≠3i mamy |z−3| > |z−3i| rozwiązaniem jest półpłaszczyzna ograniczona symetralną odcinka o końcach z₁=3 i z₂=3i bez punktu z₂=3i oraz bez symetralnej (bo nierówność jest ostra).

Sławek: na rysunku tam gdzie jest 3i ma być puste kółeczko