zadanko zagubiona: Udowodnić n² + n jest parzyste dla każdej liczby całkowitej n Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu tego zadania? Mój pomysł: jeżeli n²+n ma być parzyste to n powinno przyjąć postać n=2k gdzie n∊C więc: (2k)²+2k= 4k²+2k =2k(2k+1) −> 2k jest podzielne przez 2 więc n²+n jest parzyste. Czy to jest dobrze? A może macie inne pomysły? Pozdrawiam

Eta: n²+n = n*(n+1) n, n+1 −−− to kolejne liczby całkowite zatem jedna z nich jest parzysta wniosek iloczyn takich liczb jest parzysty

zagubiona: acha, dziękuję bardzo a o jeszcze jedno zadanko mogę zapytać, mianowicie: udowodnić, że n² − 5n + 6 jest parzyste dla każdej lb całkowitej − czy tutaj też trzeba jakoś pokombinować i wyciągnąć jakoś n przed nawias?

zagubiona: zapomniałam dodać, że ma być: dla każdej lb całkowitej n...

Eta: n²−5n+6= (n−3)(n−2) n−3, n−2 −−−− też kolejne liczby całkowite podaj uzasadnienie jak poprzednio ... co zakończy dowód

zagubiona: Bardzo dziękuję, po Twoim wytłumaczeniu wydaje się to bardzo proste a ja się nad tym tyle głowiłam ale już przynajmniej wiem o co biega Bardzo dziękuję

Eta: No to na rozgrzewkę Wykaż ,że liczba n³−n jest : a) parzysta b) podzielna przez 3 c) podzielna przez 6

zagubiona: c) n(n − 1)(n + 1) −> n−1, n, n+1 to trzy kolejne liczby całkowite, gdzie jedna z nich jest podzielna przez 2 i jedna jesy podzielna przez 3, więc cały iloczyn n(n−1)(n+1) musi się dzielić też na 6. a) iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych daje lb. parzystą b) skoro dzieli się przez 6, to będzie się dzieliło też przez 3 dobrze?

zagubiona: Mam takie pytanie − czy mogłabym jeszcze jedno zadanie wrzucić, ale to zadanie już naprawdę nie wiem jak należy wyliczyć... czy mogłabym prosić o pomoc jeszcze raz?

zagubiona: Wrzucam to zadanie, jeżeli ktoś ma na nie pomysł, będę ogromnie wdzięczna za wyjaśnienie liczenie kwadratow o rozmiarach 1x1, 2x2 do 8x8, standardowa szachownica 8x8 zawiera 204 kwadraty. Ile kwadratów o wszystkich rozmiarach znajduje się na szachownicy o rozmiarach n x n. Odpowiedzią powinien być wzór oparty na n. Wyprowadz/wyjaśnij swoj wzor. w tym przypadku to nawet nie mam pomysłu jak się za to zabrać...

Sparrow: Na pewno 204?

zagubiona: tak na pewno 204

marek: n=1 : 1 kwadrat n=2 : 1+4 kwadraty n=3 : 1+4+9 n=4: 1+4+9+16 ...... n a_n=∑ i² i=1

zagubiona: a mógłbyś mi Marku wyjaśnić dlaczego akurat tak to rozpisałeś, ponieważ nie za bardzo rozumiem...

marek: Sory rzeczywiście tu nie widać rozwiązania. Gdy n=1 masz szachownicę o wymiarach 1x1, czyli 1 kwadrat. Gdy n=2 masz szachownicę o wymiarach 2x2. Tutaj masz 1 kwadrat o wymiarach 2x2 i 4 o wymiarach 1x1. Czyli 1+4 Gdy n=3 szachownica ma wymiary 3x3. Jeden kwadrat 3x3, 4 kwadraty 2x2 i 9 kradratów 1x1. 1+4+9. Możemy przypuszczać, że kolejne wyrazy ciągu będą się zachowywały analogicznie, cztli będziemy mieć 1²+2²+3²+4²+5²+....+n². Jednak to tylko przypuszczenie. Sprwdźmy to podstawiając n=8 (wtedy wynik powinien wyjść 204). 1+4+9+16+25+36+49+64 = 204 Czyli nasz myślenie jest prawidłowe i możemy zapisać wzór ogólny. Może najpierw dla uproszczenia wprowadźmy pomocniczy ciąg, który zawierałby kolejne kwadraty liczb: a_i = i² Chodzi na nam o sumę wszystkich wyrazów tego ciągu do n. Niestety nie jest to ciąg arytmetyczny, ani geometryczny i nie znajdziemy wzoru na sumę n pierwszych wyrazów. Musimy zapisać w postawi sumy takiej jak w moim powyższym poście. Prawdopodobnie jest sposób, żeby zapisać tą sumę w wygodniejszej postaci, ale nie mam pomysłu jak. a_n = 1 + 1+4 + 1+4+9 + 1+4+9+16 + 1+4+9+16+25 + .... + 1+4+9+...+(n−1)²+n²

Aga:

	n(n+1)(2n+1)
12+22+32+...+n2=
	6

Co można udowodnić indukcyjnie

marek: o racja Tak mi się zdawało, że coś ładnego wychodzi. A w ogóle ostatnia linijka w poprzednim poście jest błędna i bez sensu. Wstyd mi za nią

zagubiona : ok dziękuję bardzo Marku, a pytanko do Agi − indukcyjnie znaczy jak?

Tragos: https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

zagubiona : ok dzięki