Pomóżcie Proszę :( Nikita: Dana jest funkcja f(x) = ax³ + bx² + cx + d a,b,c,d ∊ C Wykaż, że jeżeli f(0) i f(1) są liczbami nieparzystymi, to równanie f(x) = 0 nie ma pierwiastków całkowitych.

Vax: f(0) = d, czyli d jest liczbą nieparzystą Jeżeli x jest parzyste, tj x=2k dla pewnego k ∊ ℤ to f(x) = ax³+bx²+cx+d = 2(4ak³+2bk²+ck)+d co jest liczbą nieparzystą, czyli nie może być równe 0. Rozpatrzmy przypadek, gdy x jest nieparzyste. f(1) = a+b+c+d jest nieparzyste, czyli a+b+c jest parzyste. Suma 3 liczb całkowitych będzie parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie z nich są parzyste, lub dokładnie jedna z nich jest parzysta. Jeżeli a,b,c są parzyste to ax³+bx²+cx+d jest nieparzyste, czyli nie może być równe 0. Rozpatrzmy przypadek, gdy dokładnie jedna z nich jest parzysta, jeżeli a jest parzyste oraz b,c nieparzyste, to (oczywiście x jest nieparzyste): f(x) = ax³+bx²+cx+d = (ax³ + d) + (bx²+cx) Pierwsze wyrażenie w nawiasie jest nieparzyste (suma liczby parzystej i nieparzystej) a wyrażenie w drugim nawiasie jest parzyste (suma dwóch liczb nieparzystych) więc f(x) jest sumą liczby nieparzystej i parzystej, więc jest nieparzyste, czyli nie może być równe 0. Zupełnie analogicznie rozpatrujemy przypadek, gdy parzyste jest b lub c, czyli f(x) nie może mieć miejsc zerowych, cnd.