:( Nikita: Wykaż ze jeżeli równania x³ + ax + b = 0 i x³ + cx + d = 0 mają wspólny pierwiastek, to (ad − bc)(a − c)² = (b − d)³

Vax: Niech dane równania mają wspólny pierwiastek x: {x³ + ax + b = 0 {x³ + cx + d = 0 Na początku rozpatrzmy przypadek, gdy a=0: {x³ + b = 0 {x³ + cx + d = 0 Odejmujemy stronami i dostajemy cx = b−d ⇔ (b−d)³ = c³x³, ale z 1 równania x³ = −b, więc c³x³ = −bc³ = −bc*c² = (ad−bc)(a−c)². Rozpatrzmy więc przypadek, gdy a ≠ 0: {x³ + ax + b = 0 {x³ + cx + d = 0 Odejmujemy stronami: x(a−c)+b−d = 0 b−d = x(c−a) (*) (b−d)³ = x³(c−a)³ = −x³(a−c)³ = −x³(a−c)*(a−c)² Chcemy więc pokazać, że −x³(a−c) = ad−bc, ale z 1 równania mamy −x³ = ax+b, więc: −x³(a−c) = ad−bc ⇔ (ax+b)(a−c) = ad−bc ⇔ a²x−acx+ab−bc = ad−bc ⇔ a²x−acx+ab =ad /:a ⇔ ax−cx+b=d ⇔ x(a−c) = d−b ⇔ x(c−a) = b−d, co jest oczywiście prawdziwe z (*) cnd.