:( Aga: Miara katow wewnetrznych wielokata wypuklego tworza ciag arytmetyczny, ktorego roznica wynosi 5stopni . najmniejszy kat ma miare 120 stopni. wyznacz liczbe bokow wielokata.

Artur z miasta Neptun: Aga −−− jaki jest maksymalny kąt wewnętrzny wielokąta WYPUKŁEGO Odpowiem −−− gdy WSZYSTKIE kąty wewnętrzne są mniejsze od 180. Wniosek − miara największego kąta wewnętrznego w tym wielokącie (Twoim zadaniowym) wynosi 175 stopni. Skoro miara najmniejszego wynosi 120, różnica 5 (stąd wynika że największego 175) to ile jest kątów w tym wielokącie? Tyle ile kątów tyle boków.

Nikita: a maksymalny kąt wewnętrzny wielokąta WYPUKŁEGO to przypadkiem nie może mieć 180 stopni

pigor: niech n=? − szukana liczba boków , to masz r=5^o, a₁=120^o, a_n=120^o +(n−1)5^o<180^o , czyli 5^o(n−1)<60^o , stąd n−1<12 , czyli n<13 , ale w n−kącie S_n=(n−2)*180^o , więc stąd i wzoru na sumę S_n ciągu arytmetycznego masz równanie

n		2
	[120o+120o+5o(n−1)]=180o(n−2) ⇒ n(235o+5on)=180o(n−2) /*		⇒
2		5o

n(47+n)=72n−144 , czyli n²−25n+144=0 , a stąd i np. wzorów Viete'a n=11<13 lub n=14, zatem odp. wielokąt ma 11 boków