:P ICSP: Zna ktoś sposób na znalezienie pierwiastków wielomianu stopnia V jeśli nie można go "ładnie" rozłożyć?

Godzio: Masz zadanie, czy o tak pytasz ;> ?

ICSP: tak z ciekawości Obiło mi się o uszy że jest jakieś twierdzenie mówiące że nie da się dla wielomianu stopnia V podać wzorów na jego pierwiastki.

Eta: Poczekaj na Vax

Godzio: No ktoś to dowodził

ICSP: Poczekam poczekam

ICSP: Eta lub Godzio macie jakieś ciekawe zadanka z trygonometrii typu : Oblicz wartość wyrażenia : sin20 * sin 70 = ...?

Tripida: http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/algebra/2011/03/15/Wzory_na_pierwiastki_wielomianu/

Godzio: Tak, mam bardzo ciekawe, Udowodnij, że: 3sinx < x(2 + cosx) dla x ∊ (0,∞)

ICSP: ooo dziękuję

ICSP: Godziu ty jak coś dowalisz xD

Godzio: Wkurza mnie to zadanie Nie umiem go

Eta:

ICSP: i myślisz że ja je zrobię?

Godzio: Widzę, że Jack przyszedł, próbowałeś to może zrobić jakoś ? (mam nadzieję, że zajrzysz tutaj )

Godzio: Myślę, że jest taka szansa

ICSP: To pewnie ze studiów z granic czy z czegoś jeszcze Ja jeszcze nie ten poziom niestety

Godzio: No właśnie do końca nie wiadomo z czego

ICSP: ...

Vax: Do wielomianów 3 stopnia masz wzory Cardano, do 4 masz metodę Ferrariego, niestety do wielomianów wyższych stopni nie ma i NIE ISTNIEJE () ogólna metoda rozwiązywania danych równań, o czym mówi nam Twierdzenie Abela−Ruffiniego: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Abela-Ruffiniego

Vax: A dobra, już ktoś o tym pisał...

ICSP: Może spróbujmy pozbyć się sinusa i cosinusa i wyrazić go za pomocą szeregów?

ICSP: Dzięki Vax

Trivial: Godziu, to Twoje zadanko nadal aktualne? 3sinx < x(2+cosx)

Godzio: Tak, nadal aktualne

Trivial: To zaraz zrobię.

Godzio: Ok, chętnie zobaczę rozwiązanie

Trivial: 3sinx < x(2+cosx)

3sinx
	< x
2+cosx

←f(x)→ Porównamy tempo wzrostu f(x) z tempem wzrostu x.

	cosx(2+cosx) + sinx*sinx		2cosx+1
f'(x) = 3*		= 3*		.
	(2+cosx)2		(2+cosx)2

Załóżmy, że x rośnie szybciej, czyli f'(x) < (x)'.

	2cosx+1
3*		< 1
	(2+cosx)2

6cosx + 3 < 4 + 4cosx + cos²x cos²x − 2cosx + 1 > 0 (cosx + 1) > 0 → OK dla każdego x! Zatem x rośnie szybciej niż f(x). Teraz zauważmy, że dla x₀ = 0 mamy f(x₀) = 0, czyli funkcje przyjmują taką samą wartość w

	3sinx
x0=0. Ale skoro x rośnie szybciej niż f(x) to nierówność		< x jest w
	2+cosx

oczywisty sposób spełniona dla x>0, a zatem 3sinx < x(2+cosx), dla x>0.

Trivial: (cosx+1)² > 0 → OK

Trivial: W sumie to nie tak zaraz dla każdego x. Pozostaje przypadek cosx=−1, ale można go rozważyć osobno i też wyjdzie, że mamy zgodność.

Godzio: Naczy to trzeba było w przedziale od (0,∞)

Godzio: Kurde, szkoda, że na takie coś nie wpadłem, robiłem właśnie w ten sposób, że liczyłem pochodne i pokazałem że w x₀ = 0 przyjmują tą samą wartość, ale coś pochodna mi nie wychodziła że jest zawsze rosnąca

AS: Zad. 1 Przedstawić iloczyn sin³(x)*cos⁵(x) w postaci wielomianu względem funkcji wielokrotności kąta x. Zad.2 Obliczyć bez użycia tablic: tg20^o*tg40^o*tg60^o*tg80^o Zad.3 Sprawdzić tożsamość 1 + cos(2α) + cos(4α) + cos(6α) = 4cos(α)*cos(2α)*cos(3α)

Eta: Witaj AS Jesteś leniwy? ..... trzeba było te zadania umieścić w odrębnym poście! Nikt ich tutaj nie odnajdzie, a szkoda.... bo zadania ciekawe Myślę,że wielu maturzystów mogłoby sobie nieco połamać głowę Pozdrawiam