Algebra - układ równań, wektor, macierz Ania: Rozwiązać układ równań, rozwiązanie zapisać w postaci wektorowej. x₁ − 2x₂ + 3x₃ − x₄ = −2 −2x₁ + 2x₂ − 4x₃ + x₄ = −1 3x₁ − 4x₂ − 3x₃ + 3x₄ = 4 2x₁ − 3x₂ − 2x₃ + 2x₄ = 2 Rozwiązałam to metodą eliminacji Gaussa i moje wyniki to:

	7 − x4
x1 =
	2

x₂ = 2

	x4 − 1
x3 =
	2

x₄ ∊ R Co mam zrobić dalej? Nie wiem o co chodzi z tym zapisaniem w postaci wektorowej. Proszę o pomoc.

AS: Moje wyniki: Wyznacznik układu: D = 0 Rozwiązania: x2 = 2 , x3 = 3 − x1 , x4 = 7 − 2*x1 Co do zapisu wektorowego,nie mam pewności czy poprawnie napisane {x1 ∊ R) (x2 = 2) (x3 = 3 − x1) (x4 = 7 − 2*x1) Po lewej i prawej stronie ma być 1 nawias obejmujący całość.

AS: Twoje obliczenia też są poprawne.

Ania: Dzięki AS ale to chyba nie to sama już nie wiem o co tu chodzi. Wcześniej nie chciałam tego robić bo najpierw chciałam to zrozumieć ale w końcu zajrzałam do odpowiedzi i tu jest napisane coś takiego: Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej otrzymujemy [ 1 −2 3 −1 | 2 ] [1 −2 3 −1 | −2 ] [A|b] = | −2 2 −4 1 | −1 | → [0 1 −8 4 | 6 ] | 3 −4 −3 3 | 4 | [0 0 −2 1 | 1 ] [ 2 −3 −2 2 | 2 ] [ 0 0 0 0 | 0 ] Stąd otrzymujemy wektor (3, 2, 0, 1) jako rozwiązanie szczególne oraz jednowymiarową przestrzeń rozpiętą przez (−1, 0, 1, 2) jako przestrzeń rozwiązan układu jednorodnego z macierzą A. Nie rozumiem tego Mógłby ktoś wyjaśnić skąd powstał ten wektor? Co to jest rozwiązanie szczególne oraz po co ta przestrzeń rozpięta przez (−1, 0, 1, 2)?

Ania: Krzysiek Ty chyba wiesz o co chodzi z tymi przestrzeniami itp bo widziałam że już rozwiązywałeś takie zadania. Mógłbyś pomóc? Jeśli jest ktoś inny kto wie o co chodzi to też proszę o wyjaśnienie.

Krzysiek: ogólnie masz równanie liniowe niejednorodne, więc aby je rozwiązać, musisz mieć rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego i rozwiązanie równania liniowego jednorodnego czyli jeżeli po prawej stronie dasz same jedynki i rozwiążesz układ to otrzymasz (1,0,1,2) − jest to rozwiązanie równania liniowego jednorodnego

Ania: Niestety nie mogę tego zrozumieć "więc aby je rozwiązać, musisz mieć rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego i rozwiązanie równania liniowego jednorodnego" Nigdy czegoś takiego nie miałam nawet nie wiem co to rozwiązanie szczególne. po jakiej prawej stronie dać same jedynki? i skąd mam wiedzieć że to mają być jedynki? jedynie co zauważyłam dzięki temu co napisałeś i nie wiem czy to przypadek czy nie że jak podstawie za x₄ = 1 to wychodzi mi x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 0, x₄ = 1 tak jak ten wektor (3, 2, 0, 1)

Krzysiek: same zera... mój błąd po prostu rozwiązanie tego układu to rozwiązanie szczególne czyli (3,2,0,1) + rozwiązanie jednorodne ( w tej macierzy po prawej stronie wpisujesz zera, a po lewej nic się nie zmienia ) i jak to rozwiążesz to otrzymasz (1,0,1,2)

Ania: a mógłbyś pokazać jak to liczyć? bo siedzę próbuje tu dojść do tego co piszesz ale mi nie wychodzi. jak wyliczyć to rozwiązanie szczególne a później też rozwiązanie jednorodne? wstawiłam zera zamiast tego −2, 6, 1 ale nie wiem czy to tu miałam to wstawić. jedyne do czego potrafię dojść to to co napisałam w pierwszym poście. mam rozwiązanie z parametrem i nie wiem co dalej.

Krzysiek: rozw. szczególne to właśnie to co wyliczyłaś a jednorodne to właśnie zamiast −2,6,1,0 wstawiasz same zera i to samo robisz jak przedtem i wtedy rozwiązanie to: X=[3,2,0,1] +s[1,0,1,2] s∊R (w tym pierwszym nie ma parametru bo jest to szczególne rozwiązanie (jak wstawisz do równania za x₁ =3 , x₂ =2 itd to się zgadza lewa z prawą)

Ania: czyli to rozwiązanie szczególne może być inne? np. x₄ = 9 to wektor będzie wyglądać tak: ( −1, 2, 4, 9 )? tez będzie dobrze?

Krzysiek: wstaw do równania i sprawdź i teraz zauważyłem błąd (mój ) rozwiązanie jednorodne to: (−1,0,1,2) tak naprawdę rozwiązanie układu które podałaś o 17:23 to (7,4,−1,0)+(−1,0,1,2)s i dla s=1 jest to (6,4,0,2)=(3,2,0,1) (dlatego jest to rozw. szczególne, dobiera się jakieś s ) więc jak chcesz inne rozw. szczególne po prostu wybierasz inne s

Ania: ok to teraz napisze schemat jakbym to rozwiązała i jak coś się nie będzie zgadzać to liczę że mnie poprawisz bo mam kilka wątpliwości jeszcze: 1. rozwiązuje ten układ np Gaussem i wyliczam ile wynosi x₁, x₂ x₃ i x₄ czyli

	7 − x4		x4 − 1
x1 =		x2 = 2 x3 =		x4 ∊ R
	2		2

aby mieć coś takiego (7, 4, −1, 0) bo to chyba jest inaczej (x₁, x₂, x₃, x₄) musze za x₄ przyjąć 0 (dlaczego właśnie 0?) i jeszcze każdego x razy 2 bo inaczej wychodzi mi (3.5, 2,

	1
−		, 0)
	2

później obliczam to równanie jako układ jednorodny czyli wpisuje 0 zamiast −2, 6, 1, 0

	x4		x4
i wychodzi mi x1 = −		x2 = 0 x3 =		x4 ∊ R
	2		2

i żeby było coś takiego (−1, 0, 1, 2) to muszę za x₄ przyjąć 2 (dlaczego 2?) i nie wiem teraz skąd to s ale przyjmuje że tak po prostu musi być

Krzysiek: 1) rozwiązując ten układ ustalasz parametr niech x₄ =s , s∊R

	7		s
więc x1 =		−
	2		2

x₂ =2

	1		s
x3 =−		+
	2		2

	7		1		1		1
więc masz (x1 ,x2 ,x3, x4 ) =(		,2,−		,0 )+s( −		, 0,		,1)
	2		2		2		2

i możesz to pomnożyć przez 2 (nie musisz, ale żeby ładniej wyglądało) wtedy masz: (7,4,−1,0)+s(−1,0,1,2) i teraz przyjmując za s=0 masz (7,4,−1,0) (i jest to rozw. szczególne układu, możesz wstawić do tych 4 równań i powinno się zgadzać, pamiętaj też, że pomnożyłaś równania przez 2)

Ania: Wow chyba zaczynam rozumieć. A konieczne jest rozwiązywanie tego układu jednorodnego? Z tego co widzę to w miarę łatwo jest "oddzielić" tą część z s już po wyliczeniu x₁ x₂ x₃ x₄ z tego pierwszego układu równań. Żeby zadanie zostało uznane za zrobione do końca np na kolokwium to muszę wybrać jakieś dowolne s pod koniec zadania czy mogę tylko napisać ze s ∊ R

Krzysiek: nie musisz rozw. układu jednorodnego (już nie pamiętam dobrze) zapisując rozwiązanie nie wybierasz konkretnego s, ponieważ jest to zbiór rozwiązań

Ania: Dziękuje za pomoc. Na razie wydaje mi się że zrozumiałam.