:) ICSP: Krzysiek , Godzio, Trivial macie chwilkę teraz? Dosłownie chwilkę

Krzysiek: napisz zadanie to zobaczę czy będę wstanie pomóc

ICSP: Sprawdzić czy dane przekształcenie jest przekształceniem liniowym : a) L : R²→R³, L(x;y) = (x+2y,x−y,x) i drugie : Podać wymiary jąder i obrazów następujących przekształceń liniowych : a) R⁴ →R³, L(x;y;z;t) = (x+y+z−t,2x+y−z,ty+3z−3t) tutaj najpierw sprawdzam jadro i mam problem : doszedłem do tego że x = −4t y = 2,5t z = −0,5t więc mam : (−4t;2,5t;−0,5t;t) = t(−4;2,5;−0,5;1) i nie wiem co dalej. Niby mam sprawdzać liniową niezależność wektorów ale co zrobić gdy mam jeden wektor? On jest liniowo niezależny?

Krzysiek: 2)no tak, jest l.n. jak zakłądasz: αv =0 i v≠0 czyli α=0 więc l.n. obraz otrzymujesz rozbijając L na sumę niewiadomych tzn: x(1,2,0)+y(1,1,t? ) +... tam ma być t? 1)u=(x₁ ,y₁) v=(x₂ , y₂) α,β ∊R sprawdzasz czy: L(αu+βv) =αL(u)+βL(v)

ICSP: Dobrze. Wymiar jadra już mam teraz obraz. Rozbiłem. Utworzyłem macierz. Doprowadziłem do postaci : 1 2 0 0 −1 1 0 −3 −3 0 3 −3 no i mam problem bo moim zdaniem mogę wykreślić dwa ostatnie wiersze. Czyli mam że rz =2 Pojawia się kolejny problem. Nie wiem jak to ładnie zapisać. Tzn. pierwsze zapisałem div ker L = 1 a tutaj już nie mam pomysłu Pierwszego nie rozumiem za bardzo:((

Krzysiek: jak dla mnie to chyba jest to odwzorowanie liniowe, więc musi zachodzić: dim ker L +dim Im L =dim ⁴ =4 a dim ker L =1 (wg Ciebie) i dim Im L =2 (wg Ciebie) więc coś się nie zgadza 1) po prostu wstaw co napisałem i sprawdź czy zachodzi (ten warunek jest połączeniem dwóch− więc możesz sprawdzać dwa warunki lub ten jeden )

Krzysiek: ok widzę że wymiar obrazu jest 3 tylko (0,3,−3) jest zależny więc tylko jeden wektor "skreślasz"

ICSP: źle przepisałem ... macierz wyszła mi 1 2 0 0 −1 1 0 −3 3 0 3 −3 czyli teraz skreślam dwa i nadal nie wychodzi

Krzysiek: to podaj odwzorowanie L bo tam zapewne nie ma być t przy y , a nie mając wzoru nie wiem gdzie jest błąd

ICSP: (x+y+z−t,2x+y−z+t,y+3z−3t) o to chodzi?

Krzysiek: obraz się zgadza, ale wymiar jądra to 2

Krzysiek: Ker ={(−2,3,0,1),(2,−3,1,0)} (oczywiście Tobie może wyjść inaczej, w zależności co przyjmowaliśmy za parametry)

ICSP: czyli jak liczyłem ten ker to jeden wiersz powinienem mi wyjść taki sam i powinienem go skreślić po drodze?

ICSP: ja pier... zamiast 1 przepisałem −1 ...

Krzysiek: jak liczysz ker to masz 3 wiersze i jeden po drodze "skreślasz" i zostają 2 wiersze z 4 niewiadomymi

ICSP: aż wstyd się przyznać jeszcze dwa takie przykłady i przechodzę do jakiś nastepnych zadań

Krzysiek: a policzyłeś 1) ?

ICSP: Jeszcze nie Mam nadzieję że nie będzie tego na kolokwium. To najprostsze zadanie

Ania: ICSP skąd czerpiesz wiedzę na temat tych przekształceń, baz, jądra, obrazu itp? Też mam to na algebrze i pod koniec tygodnia kolokwium a tego nie rozumiem

ICSP: Aniu ja jutro mam kolokwium i nic nie umiem xD Krzysiu albo ja jestem głupi albo zdaje mi się że to zadanie jest bez sensu: Napisać macierz podanych przekształceń liniowych w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych : a) L : R² do R³ , L(x;y) = (x+y,3x−6y,4x−y) baza standardowa R² to (1;0) oraz (0;1) więc wstawiam : 1;3;4 1;−6;−1 i albo jestem kretynem albo nie ale zdaje mi się że to będzie : 1 1 3 −6 4 1 jaki jest sens tego zadania?

Krzysiek: a taki, że jak miałeś ostatnio wyliczyć współrzędne względem jakiejś bazy to korzystasz z czegoś takiego

ICSP: a to można od razu odczytać? Np. W pierwszym miejscu mam x + y to wpisuję to do pierwszego wiersza macierzy i mam 1 1 ?

Krzysiek: ale tylko jak masz w bazach standardowych inaczej to trzeba liczyć

ICSP: Właśnie widzę w następnym zadaniu że trzeba liczyć Zaraz napiszę co mi wyszło

ICSP: Znaleźć z definicji macierze podanych przekształceń liniowych we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych : c) L = R³ na r³ L(x,y,z) = (x−y,y−z,z−x) u₁ = v₁ = (1;0;0) u₂ = v₂ = (1;1;0) u₃ = v₃ = (1;1;1) no więc zaczynam : L(u₁) = (1;0;−1) = e₁ − e₃ L(u₂) = (0;1;−1) = e₂ − e₃ L(u₃) = (0;0;0) = chyba nic teraz jeśli się nie mylę to wprowadzam wektory standardowe bazy R³ : e₁, e₂, e₃ i za ich pomocą staram się zapisać wektory v v₁ = e₁ v₂ = e₁ + e₂ ⇔ e₂ = v₂ − v₁ v₃ = e₁ + e₂ + e₃ ⇔ e₃ = v₃ − e₂ − e₁ = v₃ − v₂ + v₁ − v₁ = v₃ − v₂ L(u₁) = v₁ − v₃ + v₂ L(u₂) = v₂ − v₁ − v₃ + v₂ = −v₃ + 2v₂ − v₁ L(u₃) = 0 0 0 co dalej ?

Krzysiek: można też tak: L(u₂ )=(0,1,−1) =av₁ +bv₂ +cv₃ =(a+b+c,b+c,c) czyli c=−1 b=2 a=−1 czyli L(u₂) =[−1,2,−1] (współrzędne wektora L(u₂ ) w bazie v1,v2,v3)) dalej "tworzysz" macierz, współrzędne wektorów to kolumny macierzy czyli: 1 −1 0 1 2 0 −1 −1 0

ICSP: a jest różnica czy wsadzę to do wierszy czy do kolumn?

Krzysiek: w sumie nie pamiętam, po prostu tak mieliśmy zdefiniowane, ale wydaje mi się, że chodzi o kolejność mnożenia, w tym przypadku mnożymy Av (A macierz, V wektor) a jakbyśmy mieli wiersze to byłoby (vA ) by wymiary się zgadzały

Cosik: @ICSP − mógłbym wiedzieć gdzie studiujesz?

ICSP: Jeszcze 5 zadań i z głowy na dziś Zahaczyłem się na UMCS'ie

Cosik: Heh, już myślałem że UŁ − bo jutro też mam z tego kolokwium

ICSP: Kolejne zadanko : Dla podanych przekształcen liniowych które są odwracalne napisać macierze i wzory przekształceń liniowych: L = R³ − R³ , L(x,y,z) = (x−y+2z, 2x+0y+z, 4x−2y+5z) Najpierw liczę wyznacznik : 1 − 1 2 2 0 1 = 2 −3 = 0 . Wyznacznik jest równy 0 wiec nie istnieje macierz odwracalna? 4 −2 5 2 − 3

ICSP: Dziekuję Krzysiu za pomoc Kolos poszedł dobrze i myślę że na jakieś 70pkt napiszę