podzielność bez indukcji podzielność: 9|10ⁿ − 1 , jak rozwiązać to bez indukcji? Bo nie mam kompletnie pomysłu .

Eta: zastosuj wzór aⁿ −bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+... +bⁿ⁻¹) a= 10 , b=1

Eta: 10³−1= 999 10⁵ −1= 99999 10ⁿ−1= 999999999999999........9 −−−−− n dziewiątek

podzielność: Teraz już łatwo . 9|10ⁿ−1 = 9(10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² + ... + 1ⁿ⁻¹) Suma wyrazów w nawiasie pomnożona przez 9 dzieli się przez 9, a zatem 9|10ⁿ−1. Taki komentarz wystarczy ?

Eta: Liczba podzielna przez 9 jest postaci : 9k

podzielność: Ok, dziękuje bardzo.

AS: 10ⁿ − 1 = (9 + 1)ⁿ − 1 = 9ⁿ + 9ⁿ⁻¹*1 + 9^{n −2}*1² + ... + 9*1 +1 − 1 = 9*reszta a to oznacza podzielność przez 9

AS: Korekta

	n 1		n 2
10n − 1 = (9 + 1)n − 1 = 9n +		*9n−1*1 +		*9n−2*12 + ... + 1 − 1 =

9*reszta a to oznacza podzielność przez 3