logika logika: W jaki sposób udowodnić: a) dopełnienie zbioru: A' = X − A b) różnicę symetryczną zbioru: A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) c) łączność różnicy symetrycznej zbioru: A + (B + C) = (A + B) + C

Andrzej: a) banalnie z definicji dopełnienia x∊A' ⇔ x∊X ∧ x∉A ⇔ (a to z kolei z definicji różnicy zbiorów) x∊(X − A) b) to jest definicja różnicy symetrycznej, definicji się przecież nie dowodzi ? c) dowód formalny straaasznie długi w zapisie, może prościej za pomocą diagramów Venne'a ?

logika: O takie właśnie coś mi chodzi mógłbyś mi pomóc z resztą dowodów? Nie chodzi mi o odwalenie całej pracy za mnie, ale tylko powiedzenie, czy łatwiej zrobić to za pomocą diagramów, z definicji, albo, że np. czegoś się nie powodzi

logika: 1. Suma zbiorów: x ε A ∪ B ⇔ [(x ε A) ∨ (x ε B)] 2. Iloczyn zbiorów: (x ε A ∩ B) ⇔ [(x ε A) ∧ (x ε B)] 3. Różnica zbiorów: (x ε A − B) ⇔ [(x ε A) ∧ (x ∉ B)] 4. Różnica symetryczna zbioru: a) A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) b) A + B = (A − B) ∨ (B − A) 5. Twierdzenie. Własności zawierania się zbiorów. a) ∅ ⊆ A b) A ⊆ A c) [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)] ⇔ (A ⊆ C) 6. Twierdzenie. Własności sumy zbiorów. a) A ∪ B = B ∪ A b) A (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C c) ∅ ∪ A = A d) A ∪ A = A 7. Twierdzenie. Zależności. a) A ⊆ A ∪ B b) B ⊆ A ∪ B c) [(A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) ⇒ (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) d) [(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ∪ B) ⊆ C 8.Twierdzenie. Własności iloczynu zbioru. a) A ∩ B = B ∩ A b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C c) ∅ ∩ A = ∅ d) A ∩ A = A 9. Twierdzenie a) A ∩ B ⊆ A b) A ∩ B ⊆ B c) (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) ⇒ (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) d) [(A ⊆ B) ∧ (A ⊆ C)] ⇒ (A ⊆ B ∩ C) 10. Twierdzenie a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∨ (A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c) (def.) (x ε A − B) ⇔ (x ε A) ∧ (x ∉ B) 11. Prawa de Morgana dla różnicy zbiorów a) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) b) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) 12. Dopełnienie zbiorów: A' = X −A 13. Różnica symetryczna zbiorów a) A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) b) A + B = (A − B) ∨ (B −A) 14. Twierdzenie a) A + B = B + A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) d) A + ∅ = A e) A + A = ∅

Andrzej: większość takich z trzema zbiorami to już kupa pisania, i łatwiej na diagramach twierdzenia dowodzi się głównie w taki sposób, że zapisujesz że jakiś element x należy do zbioru z lewej strony równości, a potem z definicji poszczególnych działań na zbiorach oraz korzystając z praw dla zdań logicznych przekształca się tak, żeby x należał do zbioru po prawej stronie. przykład: 11a x∊ A − (B ∪ C) ⇔ (z definicji różnicy zbiorów) x ∊ A ∧ ¬ x ∊ (B ∪ C) ⇔ (teraz z definicji sumy zbiorów) x ∊ A ∧ ¬ (x ∊ B ⋁ x ∊ C) ⇔ (teraz z prawa de Morgana − zaprzeczenie alternatywy) x ∊ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C ⇔ (x ∊ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∊ A ∧ x ∉ C) ⇔ (teraz z definicji różnicy ) x ∊ (A − B) ∧ x ∊ (A − C) ⇔ (i wreszcie z definicji iloczynu zbiorów) x ∊ (A − B) ∩ (A − C) co kończy dowód

logika: Mam zapisane takie coś, czy to jest poprawne? Czy to są dowody? 5a) ∅ ⊆ A (A ⊆ B) ⇔ ∀ x [(x ε A) ⇒ (A ε B)] (∅ ⊆ A) ⇔ ∀ x [(x ε ∅) ⇒ (x ε A)] 5b) A ⊆ A (A ⊆ A) ⇔ ∀x [(x ε A) ⇒ (x ε A)] 5c) [(A ⊆ B) ∧ (B ⋀ C)] ⇒ (A ⊆ C) ∀ x (x ε A ⇒ x ε B) ⋀ ∀ x (x ε B ⇒ x ε C) (A ⊆ C) ⇔ (x ε A ⇒ x ε C)