całki: pole obszaru ograniczonego krzywymi Monika: bardzo prosze o pomoc, jak rozwiązać takie zadanie : Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y=(1/2)^x, y=(1/2)^−x, y=4 z góry dziękuję

Krzysiek: narysowałaś obszar po którym masz całkować?

Monika: narysowalam tylko nie wiem czy dobrze. po prostu narysowałam te funkcje i wyszly mi przeciecia ale nie wiem ile dokladnie wynoszą. W ogóle nie za bardzo wiem jak sie mam za to zabrać

Krzysiek: jak narysowałaś, to zauważyłaś zapewne że można je podzielić na dwa takie same obszary przecięcie liczysz porównując funkcje: y=(1/2)^−x y=4 czyli 4=2^x czyli x=2 I teraz zależy po czym chcesz całkować? po x czy po y? po x to będzie: 2 ∫₀² 4−2^x dx

Monika: jejku dziękuję Ci bardzo za pomoc! mam jeszcze tylko jedno pytanie od czego zalezy czy całkuje po x czy po y jeśli nie pisze nic w zadaniu? i jak się to ma do wyniku końcowego?

Krzysiek: wynik końcowy jest taki sam, a to po czym całkujemy to w zależności po czym jest nam łatwiej

Monika: okej dziękuje jeszcze raz za pomoc

Monika: jakbyś jeszcze miał chwilkę to miałabym jeszcze jedno pytanie do innego przykładu. jeśli mam teraz obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y=1/x y=2x i y=1/2x to analogicznie co powinnam porównać do siebie jakie funkcje żeby całkę policzyć ?

Krzysiek:

	1
tam jest y=		x
	2

	1
czy y=
	2x

? zaczynasz od narysowania tego

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7By%3D1%2Fx+%2C+y%3D2x+%2C+y%3D1%2F2+x+%7D zapewne tak będzie, żeby obszar był "zamknięty" jak widać z rysunku porównujesz 1/x i x/2 by wyznaczyć punkt przecięcia i zakres całkowania

Monika: dobra już zrozumiałam

Bartek: odnosnie tego zadania jak będzie wyglądać wzór tej całki? bo nie może mi wyjsc.?

Krzysiek: a jak Ty masz?

Bartek: 1/x= x/2 obliczyłem i wyszło mi że miejsca przecięcia to √2 i −√2 i teraz nie wiem jaka całke do tego stworzyć . skoro wyszły mi dwa miejsca przecięcia .

Krzysiek: jak widać z rysunku te obszary są takie same, więc możesz obliczyć pole obszaru po prawej stronie i pomnożyć przez 2 i wtedy miejsce przecięcia się wybierasz √2 więc x∊(0,√2) jednak musisz rozbić ten obszar na dwa by policzyć całkę

	√2
tzn x∊(0,		)
	2

	√2
i x∊(		,√2)
	2

Bartek: czyli to będzie taki wzór:

	√2 0
∫		1/x − x/2

i ∫(dziedzina √2/2 i √2) 1/x−x/2 ? i podstawić pod to te liczby z dziedziny tak?

Krzysiek: nie

	√2		x		√2
to będzie całka od zera do		( 2x−		)dx +całka od		do √2 (1/x
	2		2		2

	x
−		)dx
	2

Bartek: aha, to dzięki wielkie za pomoc

MAtiz: |x|+|y|≤1

Łukasz: ∫1/(x+y+1)²dy