Całka! Vizer: Mam problem z pozornie prostą całką:

	dt
∫
	(t2+1)2

Próbowałem różnymi metodami, lecz bez skutku, może mi ktoś pomóc naprowadzić na rozwiązanie?

Anonimowy:

1		(t2 + 1) − t2		1		t2
	=		=		−		=
(t2 + 1)2		(t2 + 1)2		t2 + 1		(t2 + 1)2

1		1		2t
	−		* (t *
t2 + 1		2		(t2 + 1)2

Coś pomoże ?

ZKS: Miałem podobną całkę.

	x + 1
∫		dx
	(x2 + 4x + 5)2

A co do Twojego

	dt		t		1		dt
∫		=		+		∫
	(t2 + 1)2		2(t2 + 1)		2		t2 + 1

Dalej już wiadomo.

Vizer: O kurcze tak nie próbowałem, próbowałem przez części "jakoś", podstawienie wiadomo też nie zadziałało wprost, więc przeszedłem do cięższych metod i próbowałem do pochodnej doprowadzać poprzez wprowadzenie t³, jednak... bez skutku itd, dzięki za metodę, to znak, że muszę jeszcze poćwiczyć, dzięki i pozdrawiam

Trivial:

	W(x)
To całka typu		− rozwiązujemy przez rozkład na ułamki proste.
	V(x)

Vizer: Czyli jak, bo próbowałem, ale coś nie wychodziło...

Trivial: A... ten jest już rozłożony sorry. Można ewentualnie podstawieniem x = tgu.

Trivial: Najpierw przyda się..

	sin2x		sin2x		cos2x		1
tg2x+1 =		+ 1 =		+		=		.
	cos2x		cos2x		cos2x		cos2x

Czyli..

	dt		t = tgu dt = 1/cos2u du		1   du cos2u
∫		=		= ∫		=
	(t2+1)2				(tg2u+1)2

	1   du cos2u		1+cos2u
= ∫		= ∫cos2udu = ∫		du = ...
	1   cos4u		2

Vizer: Łeb jak sklep, jak na takie coś genialnego wpaść?

Trivial: To przychodzi z doświadczeniem. Takie podstawienie wykorzystuje się często, aby rozwiązywać całki z √x²+1, ale do x²+1 też działa.

ZKS: Trivial powiedz ile to było całek żeby tak je ogarnąć?

Trivial: Około 150 nie licząc tych z forum.

Trivial: I nie zapominaj, że ja dalej mam analizę i to wszystko muszę pamiętać.

Vizer: A to Twoje rozwiązanie ZKS z czego wynikło, bo nie wiem jak Ty do tego doszedłeś?

ZKS: Taki jest ogólny wzór jeżeli chcesz mogę Ci tutaj zapisać to.

Trivial:

	1
Rozwiązanie ZKS to wzór redukcyjny ułamków postaci		, przy czym trójmian
	(ax2+bx+c)n

ax²+bx+c jest nierozkładalny ⇔ ujemna Δ.

ZKS: Wierzę że jak rozwiążę 200 to będę ogarniał je w połowie tak dobrze jak Ty.

Trivial: Powodzenia.

Vizer: No tak gotowe wzorki, to jak możesz zapodaj, I will be appreciate.

ejendi: znalazłem taki wzór

	dx		1		x		2n−3		dx
∫		=		*		+		*∫
	(1+x2)n		2(n−1)		(x2+1)n−1		2n−2		(1+x2)n−1

dla n>=2 trzeba tak długo mielić aż zostanie (1+x²)¹ tutaj dwa razy trzeba całkowć

	dt		1		t		1		dt
∫		=		*		+		∫		=
	(1+t2)2		2		(t2+1)		2		(1+t2)

	t		1
=		+		arc tg t
	2(t2+1)		2

Trivial: Można łatwo wyprowadzić, nie żadne gotowce!

Vizer: Oj tam, oj tam

ZKS:

	dx		x
∫		=		+
	(x2 + 1)n		2(n − 1)(x2 + 1)n − 1

	2n − 3		dx
+		∫
	2(n − 1)		(x2 + 1)n − 1

ZKS: Przekształceń trochę jest.

Vizer: Mhm, czyli ten co podał ejendi, chyba nie jest to dobra metoda nauczyć się go na pamięć

ZKS: Lepiej spróbuj wyprowadzić samemu a wtedy go lepiej zrozumiesz.

Vizer: Ok wyprowadziłem, choć straszny tasiemiec...

Trivial: Jaki tam tasiemiec.

Vizer: Dobra czuje się o tyle dobrze, że znam kolejną metodę. Siedziałem nad tą całką ogólnie 1,75h... A miałem plan zrobić dzisiaj więcej, no ale cóż.

Trivial: Udało się wyprowadzić wzór?

Vizer: Udało, mam napisać?

Trivial: OK.

Vizer: To jedziemy: Nazywamy ją sobie dla uproszczenia I_n

	dt		1+t2−t2		t
In=∫		=∫		dt=In−1−∫t*		dt=*
	(1+t2)n		(1+t2)n		(t2+1)n

Przez części: u=t u'=1

	t
v'=		v=?
	(t2+1)n

	t
v=∫		dt=**
	(t2+1)n

podstawienie: z=t²+1 dz=2tdt

	1		dz		1		1	z−n+1
**=		∫		=		∫z−ndz=			=
	2		zn		2		2	−n+1

	1		1
=		*		+C
	(2−2n)		(t2+1)n−1

	t		dt
*=In−1−(		−∫		)=
	(2−2n)(t2+1)n−1		(2−2n)(t2+1)n−1

	t		1		dt
=In−1+		−		∫		=
	(2n−2)(t2+1)n−1		2n−2		(t2+1)n−1

	1		t		2n−3		t
=In−1(1−		)+		=		In−1+
	2n−2		(2n−2)(t2+1)n−1		2n−2		(2n−2)(t2+1)n−1

Uff zmęczyłem

Trivial: Gratulacje.

Trivial: Czyli wyszło, że

	dx
In = ∫
	(x2+1)n

	1		x		2n−3
In =		*		+		*In−1.
	2(n−1)		(x2+1)n−1		2n−2

Jeszcze można na upartego znaleźć formę zamkniętą.

Vizer: