wzór rekurencyjny ola: Ciąg liczb rzeczywistych (a_n) , n∊N określony jest następującym wzorem rekurencyjnym: a₁= 3 , a_n+1 = √³₄+a_n Udowodnić, że ciąg (a_n) jest zbierzny i obliczyć jego granicę.

ola: mozże mi ktoś pomóc?

Anonimowy: Próbowałaś jakoś określić wzór algebraiczny ?

Anonimowy: Dobra ze wzorem ciężko, zatem spróbujmy inaczej

Anonimowy: Ciąg jest rosnący czy malejący ?

Jack: wzór łatwo wyznaczyć biorąc za lim_n→∞ a_n=lim_n→∞ a_n+1=g, podstawiając do wzoru i wyznaczając g. Żeby dowieść zbieżności może najłatwiej będzie pokazać ograniczoność i monotoniczność... hm?

Anonimowy: Jack jak najłatwiej zobaczyć ograniczoność, bo wiadomo, że ciąg będzie ograniczony przez granicę, lecz chodzi mi czy można jakoś zauważyć, że o ! ciąg jest ograniczony przez ...

Jack: można ją policzyć, a potem wykorzystać przy szacowaniu

ola: nic z tego nie rozmiem... mozecie mi rozwiazac krok po kroku? bo chce zobaczyc metode, bo podobnych przykladow mam kilka i niebardzo wiec co, jak i dlaczego..

Jack: 2) część: znajdziemy granicę. a_n+1=√3/4+a_n lim_n→∞a_n+1 = lim_n→∞√3/4+a_n Niech lim_n→∞a_n+1=lim_n→∞ a_n=g Stąd g=√3/4+g /:² (lewa strona ujemna, więc moduł będzie niepotrzebny i przy okazji widać, że granica musi być nieujemna) g²−g−3/4=0 g₁=−1/2 g₂=3/2 Zatem naszą granicą będzie 3/2. Teraz pozostaje jej dowieść. 1)...

Jack: dowieźć jej istnienia, znaczy się.

Anonimowy: To akurat wiem, że można obliczyć i wykorzystać Kiedyś byłem z kolegą na konsultacjach i profesor dał nam przykład, właśnie tego typu i spytał przez co jest ograniczony ten ciąg, i powiedział, że to widać A my kompletnie nie widzieliśmy, co prawda powiedziałem, ale w myślach obliczyłem sobie tą granicę, myślałem że można czasem po wzorze jakoś wywnioskować

Jack: 1a) monotoniczność. a_n+1−a_n=√3/4+a_n−a_n. Zbadamy, czy √3/4+a_n−a_n<0. Niewprost. √3/4+a_n−a_n>0 √3/4+a_n>a_n / ² (wobec dodatniej wartości obu stron) a_n²−a_n−3/4<0 (a_n+1/2)(a_n−3/2)<0 → dla n>1 dostajemy sprzeczność. Zatem począwszy od wyrazu n=2 ciąg jest monotoniczny (malejącym, co łatwo sprawdzić).

Jack: 1b) ograniczoność. Banalnie zauważyć, że a_n+1 ≥0 A więc jest ograniczony od dołu. Zatem 1a i 1b dają zbieżność ciągu, którego granica wynosi 3/2.

ola: dlaczego 1a) najpierw jest ze √3/4+a_n−a_n<o a w nastepnej linijce jest >0?

Jack: ponieważ zakładam przeciwny przypadek (dowód niewprost). W zasadzie powinienem zapisać w dowodzie niewprost "≥0".

Jack: hmm... coś mi się nie podoba w dowodzie. Faktycznie coś jest z tymi znakami nie tak.

Jack: Chcę wykazać, że jest malejący. Zakładam niewprost że jest rosnący, czyli że √3/4+a_n−a_n≥0. I dochodzę tym sposobem do sprzeczności − czyli jednak jest dobrze

ola: musze to dobrze wszystko przemyslec, bo narazie to czarna magia...:( w razie czegos dopytam i sprobuje zrobic reszte przykladow dzieki wielkie za pomoc

Jack: tu masz na wszelki wypadek dowód faktu, że ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny https://matematykaszkolna.pl/forum/47189.html