Jasper: Odstawiam na chwilę pochodne i robię całki. Mam pytanie. Czy w metodzie podstawiania mogą być różne podstawienia prawidłowe ? W filmie gość w całce:

	xdx
∫		wybrał podstawienie :
	√1−x2

t=1−x² dt=−2xdx ja natomiast wybrałem: t=x² dt=2xdx Końcowy wynik pierwszego podtawienia to : −(1−x⁾{¹₂ +C

	1
Końcowy wynik mojego podstawienia to:		arcsinx2 +C
	2

Obliczyłem to poprawnie czy nie ?

gwiazda: Żle tam to rozwiązanie dobre−√1−x² +C

Jasper: dlaczego ? Możesz to rozpisać?

Jasper: dlaczego może podstawienie jest błędne ?

Jack:

	xdx		−12dt
∫		=∫		= .... nie masz kwadratu przy t, wiec nie jedziesz z
	√1−x2		√1−t

arcsinx.

Jasper: yhym... teraz rozumiem. Niedopatrzenie moje. Czyli można podstawiać jak się mi żywnie podoba, byle się zgadzało ?

	1
np. do tej całki: ∫		dx
	xlnxln(lnx)

podstawiłem : t=lnx

	1
dt=		dx
	x

Poprawnie ?

Jack:

	x
gdybyś miał ∫		dx to wówczas otrzymałbyś 12arcsinx2+c
	√1−x4

Jack: podstawienie może być sobie poprawne, pytanie czy jest celowe Zaraz zerknę (chyba ktoś mnie uprzedzi) − muszę się zmyć na moment.

Jack: ok, wszystko w porządku − później jeszcze możesz skorzystać z jednego wzoru (albo zrobić kolejne podstawienie).

Jasper:

	1
no bo dochodzę do takiego momentu : ∫		dt i nie wiem co dalej zrobić
	tlnt

Jack: albo podstawienie u=lnt

	1t		f'(x)
albo ∫		dt a teraz korzystasz z tego że: ∫		dx=ln (f(x))
	lnt		f(x)

Jasper: a coś takiego ?

	1
∫√tg5x*		dx
	cos2x

t=tg²x (pytanie czy można tak zrobić, że √tg⁵x=tg⁴x=(tg²x)² )

	1
dt=		dx
	cos2x

Coś mi to nie chce wyjść z takim podstawieniem. Można tak zrobić?

Jasper: Nie rozumiem tego. Mam całkę:

	lnx−2
∫		dx
	x

Robię podstawnie: t=lnx

	1
dt=		dx
	x

I wychodzi mi

	1		1
∫t−2dt = ∫t−∫2=		t2−2t=		ln2x−2lnx +C
	2		2

	1
A wynik ma być		(lnx−2)2 +C
	2

Jack:

	1
w 1) zauważ, że (tgx)' =		, narzuca się podstawienie... Poza tym nieprawdą jest, że
	cos2x

√tg⁵x=tg⁴x (potęgi się mnoży: (tg⁵x)^1/2=(tgx)^5/2) w 2) weź za t=lnx −2 i o dziwo to też się narzuca Choć Twoja postać daje upragniony wynik. Zobacz: 1/2ln²x−2lnx+c=1/2(ln²x−4lnx+4)−2+c=1/2(lnx−2)²+c₁

Jasper: Pierwsze rozumiem. Po prostu nie byłem pewny, czy można w ten sposób pozbyć się pierwiastka. Co do drugiego wiem, że z Twoim podstawienie wychodzi tak jak w odpowiedziach, ale dlaczego tak jest, skoro moje podstawienie wydaje się być prawidłowe? Nie ma w nim błędu chyba. Na kolokwium nie będę mieć odpowiedzi, żeby sprawdzić czy dobre podstawienie z dwóch dobrych wybrałem.

Jack: w drugim pokazałem, że Twoje rozwiązanie jest identyczne z tym z klucza (a oba się poprawne) − wychodząc z jednego doszedłem do drugiego. C − to dowolna stała, c₁ tak samo...

Jasper: yhym. Teraz to widzę. Nie zajarzyłem, że to porównanie mojego wyniku z Twoim.

Jack:

Jasper: Możesz mi pomóc z jeszcze jedną całką?

	2x
∫		dx
	√1−4x

Jako podstawienie dałem: t=2^x dt=2^xln2dx I liczę:

	2x		1
∫		dx=ln2∫		dt=... i tu nie wiem co dalej.
	√1−4x		√1−22t

Jasper:

	1
Mały błąd. Tam powinno być		∫(...)
	ln2

Jack: t=2^x dt=ln2*2^xdx

dt
	=2xdx
ln2

	1		dt
...=		∫		=.... Teraz jakiś arcus z tego będzie.
	ln2		√1−t2

Jack: ... ponieważ t=2^x więc t²=2^2x=4^x.

Jasper: Eh. Zmęczenie materiału. Chyba pora zrobić sobie przerwę od matematyki i zająć się płaskim zbieżnym układem sił na mechanikę. W takich rzeczach na kolokwium nie mogę się mylić. Dziękuję za rozwiewanie moich wątpliwości.

Jack: nie ma sprawy Ja wolę w przerwach czytań poezyję − Leśmian jest spoko, za to Kasprowicz którego obecnie poczytuję strasznie męczy... Co kto lubi

Jasper: W przerwach... Niestety, zbliża się sesja, a ja prawie nic nie robiłem pół roku, więc nie mam czasu na przerwy. Trzeba wykorzystać go maksymalnie. Pytanie tylko, na jak długo wystarczy mi zapału do pracy. W każdym razie życzę Ci miłej lektury.