MIT: ogólnie pochodna to inaczej funkcja styczna do jakiejś funkcji którą masz w jakims punkcie
pokazująca ''szybkość'' wzrostu lub opadania jakiejś funkcji− np wyobraź sobie że masz
samochód jadący jakąś drogą i on przejeżdża ileśtam kilometrów w jakimś czasie możesz
narysować tego wykres taki że pokazuje Ci on zależność przejechanych kilometrów od czasu,
czyli to co na osi x to czas, a to co na osi y to kilometry, czyli prędkość z jaką bedzie
jechać to
| y−yo | | Δy | |
| czyli |
| czyli ''szybkość'' wzrostu tej funkcji liniowej to inaczej |
| x−x0 | | Δx | |
prędkość średnia samochodu a żeby znaleźć prędkość chwilową tego samochodu musisz zrobic tak
żeby przedziały czasu i drogi były jaknajmniejsze idące do nieskończenie małej różnicy wiec
walniesz sobie granice taką żeby różnica x−x
0 szła do zera. przez co jak sie domyślisz
funkcja zależna od iksów też będzie iść do zera, no i teraz kiedys pewien spoko ziomek Newton
a po nim Leibnitz wykombinowali że można takie coś znaleźć nie tylko dla funkcji liniowej ale
dla JAKIEJKOLWIEK funkcji (dzięki czemu kształt wszystkiego co jest dookoła ciebie i stosunki
różnych wartości można zapisać w najbardziej popieprzony sposób i na dodatek policzyć to co
sie chce z nich wiedzieć)
a zrobili to mniejwiecej tak:
bierzesz jakąś funkcjie
y=f(x) i chcesz znaleźć chwilową dla niej prędkość wzrostu lub opadania (styczną) wiec musisz
zabrać stosunki dwóch punktów leżących nieskończenie blisko siebie.
przyjmij że ten punkt x to będzie (x
0+h), h to jest jakaś liczba o którą sie zwiększa lub
zmniejsza punkt x. czyli odległość między tymi dwoma punktami na osi x będzie własnie równa h,
czaisz ?
no i tak samo współrzędna y tej funkcji = f(x
0+h). zwiększa sie o ileś tam w zależności jaka
jest ta funkcja
no i teraz z górki:
chcemy znaleźć ten stosunek jaknajbliższych dwóch punktów na funkcji, wiec zrobimy tak samo jak
zrobił Leibnitz prawie 300 lat temu.
| y−y0 | |
| (te nasze bardzo blisko siebie dwa punkty) = |
| x−x0 | |
| | Δy | |
|
| (matematycy piszą dy/dx) = |
| | Δx | |
(żeby odległość była bardzo mała h musi iść do 0 wiec walniemy sobie przed tym limes)
| | f(x0+h)−f(x0) | |
lim h−>0 |
| (jak widzisz w mianowniku sie odejmuje) = |
| | x0+h−x0 | |
(szybkość wzrostu/opadania tej funkcji) m =
(pochodna) f'(x) − to oznaczenie później ktoś wprowadził jak dobrze pamietam ale z historii
orłem nie jestem.
i to jest właśnie pochodna.
