. xXx: ∫ e^−x2 dx

Godzio: Powodzenia w wyliczeniu tego

xXx: to jak w takim razie zrobić takie zadanie: Zbadaj zbieżność całki: ∫₀^+∞ e^−x2 dx.

Krzysiek:

	√π
dowodzi się, że ta całka wynosi:
	2

w internecie lub Krysickim na pewno znajdziesz

xXx: A czy to jest poprawne rozumowanie ? : Założenia: 1^o f,g : [0,+∞) → R 2^o ∃ A≥0 ∀ x≥A e^−x2≤g(x) Teza: ∫₀^∞ e^−x2 dx jest zbieżna ⇔ ∫₀^∞ g(x) dx jest zbieżna Niech A=1 wtedy: e^−x2 ≤ 1 ⇔ −x²≤0 g(x)=1 ∫₀^∞ dx = lim_α→∞ ∫₀^α dx = lim_α→∞ α = +∞ a więc obie całki są rozbieżne.

Trivial: Przeczytaj co napisał Krzysiek.

xXx: tak tylko, że ja nie chcę jej policzyć ale określić czy jest zbieżna

Trivial:

	√π
Skoro ona jest równa		, to jakim cudem może być rozbieżna?
	2

xXx: To jak w takim razie można było rozwiązać to zadanie na kolokwium? Bez wiedzy, że wynosi ona

	√π
		?
	2

Trivial: Nie pamiętam już tego twierdzenia. To było rok temu...

Trivial: Przypomnij mi jak ono brzmi, to może pomogę.

xXx: No ogólnie zadanie jest takie: Zbadaj zbieżność całki: ∫₀⁺∞ e^−x2 dx. A twierdzenie, które rzekomo można tu wykorzystać brzmi tak: Jeżeli funkcje f,g : [a,∞) → R są nieujemne oraz istnieje taka liczba A≥a, że dla każdego x≥A zachodzi nierówność f(x)≤ g(x), to całka ∫_a^∞ f(x)dx jest zbieżna wtedy, gdy zbieżna jest całka ∫_a^∞ g(x)dx.

Trivial: Z tego twierdzenia nie wynika, że jeśli ∫_a^∞g(x)dx wyjdzie rozbieżna to automatycznie ta z f(x) jest rozbieżna.

Trivial: Musisz tak dobrać funkcję g(x), żeby całka ∫_a^∞ g(x)dx była zbieżna.

Trivial: Czyli np. g(x) = e^−x, wtedy f(x) ≤ g(x), dla każdego x≥1, zatem ∫₀^∞e^−xdx = ... = 1. Zatem całka ∫₀^∞e^−x2dx zbieżna.

Trivial: I chyba tam jeszcze powinno być założenie f,g ciągłe?