Liczba cyfr Ola: Ile cyfr mają w sumie liczby 2ⁿ i 5ⁿ ? nie rozumiem tego . bo przecież n może być nieskończenie dużą liczbą, więc cyfr powinno być nieskończenie dużo ?

Vax: n+1

Vax: Oczywiście zakładając, że pisząc ,,w sumie" chodzi o wypisanie 2ⁿ i 5ⁿ obok siebie.

Mareczek: wydaje mi się kolego że nie wiesz ze cyfra to tylko znak graficzny od 0 po 9 wiec tak w zapisach potęgi 2ⁿ tak samo jak w potegach liczby 5 wystepuja wszystkie cyfry i odp będzie od 0 do 9

Ola: No sama teraz trochę zgłupiałam, ale chyba bardziej mnie przekonuje odpowiedź Vax'a . No bo w końcu chodzi o ilość cyfr które liczby 2ⁿ oraz liczby 5ⁿ . Tylko nie za bardzo rozumiem jak do tego doszedłeś Vax. Ale i tak dzięki .

Vax: Niech x będzie ilością cyfr liczby 2ⁿ, a y ilością cyfr liczby 5ⁿ, wtedy: {10^x−1 < 2ⁿ < 10^x {10^y−1 < 5ⁿ < 10^y Mnożąc stronami dostajemy: 10^x+y−2 < 10ⁿ < 10^x+y Czyli n = x+y−1 ⇔ x+y = n+1

wik_gg8947201: a skad takie zadanko pochodzi? bo chyba cos tu nie tak

Ola: dzięki Vax . zadanie z Intenetowego kółka matematycznego . a jeszcze tak zupełnie nie do tego tematu, ale nie chcę tworzyć nowego postu . : Mam znaleźć wszystkie dodatnie liczby n dla których N = 2¹⁷ +17*2¹²+2ⁿ jest kwadratem liczby całkowitej . Więc myślałam że można by rozważyć przypadki gdy n jest nieparzyste i n jest parzyste . tylko właśnie co dalej . ?

Vax: Gdzieś w sobotę wieczorem Ci to zadanie zrobię, bo właśnie wyjeżdżam na 2 etap omg

Ola: O no to powodzenia, żebyś tam powygrywał wszystko co się da ! I jeszcze raz dzięki za pomoc.

krystek: Dalszych sukcesów Vax !

-:): ... a może tak? 2¹²(2⁵+17)+2ⁿ=2¹²*49+2ⁿ=2¹²*7²+2ⁿ ... czyli ? n parzyste

-:): błąd:(

Ola: no właśnie . myślę że musi być jakiś związek z tym że pierwsza potęga to 17, a potem współczynnik przy 2¹² jest 17. nie mogę tego rozgryźć.

Ola: wydaje mi się że mam dla parzystych . ale nie wiem jak będzie dla n nieparzystych . Ma ktoś jakiś pomysł ?

Ola: To ewentualnie mógłby ktoś jeszcze na to zerknąć ?

Vax: Ok już jestem A więc 2¹⁷ + 17*2¹² + 2ⁿ ma być kwadratem liczby całkowitej. Jeżeli n jest parzyste, tj n=2k, to: 2¹⁷ + 17*2¹²+2^2k = (−1)¹⁷ + 17*(−1)¹²+(−1)^2k = −1+17+1 = 2 (mod 3) skąd sprzeczność, ponieważ 2 jest nieresztą kwadratową mod 3. Jeżeli n = 4k+3, to (17=2 mod 5): 2¹⁷+17*2¹²+2ⁿ = 2*2¹⁶+2*2¹²+2^4k+3 = 2*4⁸+2*4⁶+2³*2^4k = 2*(−1)⁸+2*(−1)⁶+8*16^k = 2+2+8 = 2 (mod 5) skąd sprzeczność, ponieważ 2 jest nieresztą kwadratową modulo 5. Został ostatni przypadek, gdy n=4k+1, ma zachodzić dla pewnego całkowitego x: 2¹⁷+17*2¹²+2^4k+1 = x² Załóżmy, że k ≥ 3, dla k=0 v k=1 v k=2 czyli n=1 v n=5 v n=9 możemy ręcznie sprawdzić, że teza nie zachodzi, wróćmy do naszego równania: 2¹²(2⁵+17+2^4k+1−12) = x² Lewa strona dzieli się przez 2¹², więc prawa też musi, jest to kwadrat pewnej liczby całkowitej, więc aby całe wyrażenie było kwadratem, dla pewnego całkowitego y musi być: 2⁵+17+2^4k−11 = y² ⇔ 2^4k−11 = y²−49 = (y−7)(y+7). Jeżeli pierwszy nawias jest równy 1, tj y−7=1 ⇔ y=8 wtedy 2^4k−11 = 15 co nie zajdzie dla żadnego k, czyli oba nawiasy muszą być pewnymi całkowitymi dodatnimi potęgami 2, jednak oba nie mogą dzielić się jednocześnie przez 4, ponieważ wtedy ich różnica (y+7)−(y−7) = 14 musiałaby być podzielna przez 4 a nie jest, czyli jeden z czynników ma być równy 2, więc y−7=2 ⇔ y=9, dostajemy wówczas: 2^4k−11 = 32 = 2⁵ ⇔ 4k−11=5 ⇔ k=4 co nam daje jedno rozwiązanie n=17. Odp. Jedyną liczbą spełniającą tezę jest n=17.

Ola: Jej . Wielkie dzięki . Normalnie mistrzem jesteś . A jak ci poszła omg ? = ]

Vax: A omg poszło bardzo dobrze, jak nie potną mi punktów za opis kombinatoryki to będzie wyśmienicie

Ola: no to gratulację . żałuję że też się w gimnazjum nie zabrałam za matmę = ]

Mariusz : Wogóle tego nie łapie Czemu Vax przyją za 2 : −1 na początku. A potem podstawił za n 4k+3 a potem znowu podstawić −1 za 2? To tak można robić

Vax: Działając w ciele ℤ₃ można