równoległobok pomocy: nie mam pojęcia jak to zrobić: Punkty A(1,1) B(5.0) C(5,7) D (x,y) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Oblicz: a) współrzędne D b) współrzędne punktu przecięcia się przekątnych c) pole równoległoboku d) czy mozna w ten równoległobok wpisać okrąg. (odp uzasadnij)

marek: 1. Napisz równanie prostej AB y − yA =yB − yAxB − xA * (x − xA ) y − 1 = 0 − 1 5−1 * ( x − 1) y = − 14 x + 54 2. Napisz równanie prostej || do AB przechodzącej przez C ⇒CD y − yC = m(x − xC ) y − 7 = − 14 * ( x − 5) y = − 14 x + 334 3. Napisz równanie prostej BC x = 5 4. Napisz równanie prostej || do BC przechodzącej przez A ⇒AD x =1 5. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych CD i AD. Rozwiązanie to współrzędtne punktu D y = − 14 x + 334 i x=1 y = − 14 * 1 + 334 y = 324 y = 8 D = ( 1,8) 6. Równanie prostej AC i BD − przekątne AC y − yA =yC − yAxC − xA * (x − xA ) y − 1 = 7 − 1 5−1 * ( x − 1) y = 64 x − 12 BD y − yD =yB − yDxD − xB * (x − xD ) y − 8 = 0 − 8 5 − 1 * ( x − 1) y = −2 x + 10 7. Wyznacz punkt przecięcia się tych prostych. odp do ptk b) (1) y = 64 x − 12 (2) y = −2 x + 10 rozwiązujesz ten układ równań i otrzymujesz E = ( 3,4) 8. Wysokość tego równoległoboku to odległość między prostymi AD i BC czyli 5 − 1 = 4 h = 4 Obliczasz długość odcinka BC |BC| = √ (xC − xB )2 + ( yC − yB )2 |BC| = √ ( 5 − 5)2 + ( 7 − 0 )2 |BC| = √49 |BC| = 7 Pole P = |BC| * h P = 7 * 4 P = 28 Co do podpunktu d to według mnie nie można

%3Cb%3Emarek%3A%3C%2Fb%3E%201.%20Napisz%20r%C3%B3wnanie%20prostej%20AB%0Ay%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%20%3D%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3Ey%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-54px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3Ex%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(x%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%20)%0Ay%20%E2%88%92%201%20%3D%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E%200%20%E2%88%92%201%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-30px%3B%20margin-right%3A6px%3B%22%3E%205%E2%88%921%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(%20x%20%E2%88%92%201)%0Ay%20%3D%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20x%20%2B%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E5%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0A2.%20Napisz%20r%C3%B3wnanie%20prostej%20%7C%7C%20do%20AB%20przechodz%C4%85cej%20przez%20C%20%20%E2%87%92CD%0Ay%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20%3D%20m(x%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20)%0Ay%20%E2%88%92%207%20%3D%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(%20x%20%E2%88%92%205)%0Ay%20%3D%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20x%20%2B%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E33%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-9px%3B%20margin-right%3A3px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0A3.%20Napisz%20r%C3%B3wnanie%20prostej%20BC%0Ax%20%3D%205%0A4.%20Napisz%20r%C3%B3wnanie%20prostej%20%7C%7C%20do%20BC%20przechodz%C4%85cej%20przez%20A%20%20%E2%87%92AD%0Ax%20%3D1%0A5.%20Wyznacz%20wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne%20punktu%20przeci%C4%99cia%20prostych%20CD%20i%20AD.%20Rozwi%C4%85zanie%20to%20wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dtne%0A%20punktu%20D%0Ay%20%3D%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20x%20%2B%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E33%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-9px%3B%20margin-right%3A3px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20i%20x%3D1%0Ay%20%3D%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%201%20%2B%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E33%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-9px%3B%20margin-right%3A3px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0Ay%20%3D%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E32%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-9px%3B%20margin-right%3A3px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0Ay%20%3D%208%0AD%20%3D%20(%201%2C8)%0A6.%20R%C3%B3wnanie%20prostej%20AC%20i%20BD%20%E2%88%92%20przek%C4%85tne%0AAC%0Ay%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%20%3D%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3Ey%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-54px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3Ex%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(x%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EA%3C%2Fsub%3E%20)%0Ay%20%E2%88%92%201%20%3D%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E%207%20%E2%88%92%201%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-30px%3B%20margin-right%3A6px%3B%22%3E%205%E2%88%921%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(%20x%20%E2%88%92%201)%0Ay%20%3D%20%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E6%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20x%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E2%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0ABD%0Ay%20%E2%88%92%20y%3Csub%3ED%3C%2Fsub%3E%20%3D%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3Ey%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20y%3Csub%3ED%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-54px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3Ex%3Csub%3ED%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(x%20%E2%88%92%20x%3Csub%3ED%3C%2Fsub%3E%20)%0Ay%20%E2%88%92%208%20%3D%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22margin-left%3A3px%22%3E%200%20%E2%88%92%208%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-39px%3B%20text-decoration%3A%20overline%3B%20%22%3E%205%20%E2%88%92%201%20%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20*%20(%20x%20%E2%88%92%201)%0Ay%20%3D%20%20%E2%88%922%20x%20%2B%2010%0A%0A7.%20Wyznacz%20punkt%20przeci%C4%99cia%20si%C4%99%20tych%20prostych.%20odp%20do%20ptk%20b)%0A(1)%20y%20%3D%20%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E6%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E4%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%20x%20%E2%88%92%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Atimes%3B%20margin-left%3A1px%3B%20margin-right%3A1px%22%3E%3Csup%20style%3D%22text-decoration%3Aunderline%3B%22%3E1%3C%2Fsup%3E%3Csub%20style%3D%22margin-left%3A-6px%3B%20margin-right%3A0px%3B%22%3E2%3C%2Fsub%3E%3C%2Fspan%3E%0A(2)%20y%20%3D%20%20%E2%88%922%20x%20%2B%2010%20%20%20rozwi%C4%85zujesz%20ten%20uk%C5%82ad%20r%C3%B3wna%C5%84%20i%20otrzymujesz%20E%20%3D%20(%203%2C4)%0A%0A8.%20Wysoko%C5%9B%C4%87%20tego%20r%C3%B3wnoleg%C5%82oboku%20to%20odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87%20mi%C4%99dzy%20prostymi%20AD%20i%20BC%20czyli%205%20%E2%88%92%201%20%3D%204%20h%20%3D%0A%204%0AObliczasz%20d%C5%82ugo%C5%9B%C4%87%20odcinka%20BC%0A%7CBC%7C%20%3D%20%3Cspan%20class%3D%22p1%22%3E%E2%88%9A%3C%2Fspan%3E%3Cspan%20style%3D%22text-decoration%3A%20overline%22%3E%20(x%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20x%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%20)%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%20%2B%20(%20y%3Csub%3EC%3C%2Fsub%3E%20%E2%88%92%20y%3Csub%3EB%3C%2Fsub%3E%20)%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%20%3C%2Fspan%3E%0A%7CBC%7C%20%3D%20%3Cspan%20class%3D%22p1%22%3E%E2%88%9A%3C%2Fspan%3E%3Cspan%20style%3D%22text-decoration%3A%20overline%22%3E%20(%205%20%E2%88%92%205)%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%20%2B%20(%207%20%E2%88%92%200%20)%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%20%3C%2Fspan%3E%0A%7CBC%7C%20%3D%20%3Cspan%20class%3D%22p1%22%3E%E2%88%9A%3C%2Fspan%3E%3Cspan%20style%3D%22text-decoration%3A%20overline%22%3E49%3C%2Fspan%3E%0A%7CBC%7C%20%3D%207%0A%0APole%20%0AP%20%3D%20%7CBC%7C%20*%20h%0AP%20%3D%207%20*%204%0AP%20%3D%2028%0A%0A%0ACo%20do%20podpunktu%20d%20%20to%20wed%C5%82ug%20mnie%20nie%20mo%C5%BCna%20%0A%0A

pomocy: tylko jak to wytłumaczyć że nie da się wpisać tego okręgu...?

Bogdan:
Za bardzo pracochlonne. Można zdecydowanie prościej.
ad. a)
→
Wektor AB = [4, −1]
→
Wektor DC = [5 − x, 7 − y]

Ponieważ wektory te są równe, to:
5 − x = 4 stąd x = 1
7 − y = −1 stąd y = 8 czyli D = (1, 8)

ad. b) Przekątne przecinają się w połowie, więc wyznaczamy środek S jednej
z przekątnych, np. przekątnej AC:

S = ( ^{1 + 5}₂ ; ^{1 + 7}₂ ) = (3, 4).
→ →
ad c) Potrzebne nam są współrzędne wektorow: AB i AD:
→
AB = [4, −1]
→
AD = [0, 7]

| 4 −1 |
Pole P = | | = 28
| 0 7 |

ad. d) W czworokąt można wpisać okrąg wtedy, gdy sumy długości przeciwległych
boków są sobie równe.
Obliczamy długości boków, korzystamy z współrzędnych wektorów wyznaczonych w c).
|AB| = |CD| = √16 + 1 = √17 => |AB| + |CD| = 2√17
|AD| = |BC| = √0 + 49 = 7 => |AD| = |BC| = 14
14 ≠ 2√17
Nie można wpisać okręgu w ten równoległobok.

pomocy: wow dzięki wielkie a w tym punkcie c) to na jakiej podstawie jest te pole wyliczone bo nie kumam

Bogdan:
W punkcie c jest wyznacznik. Pole równoległoboku obliczamy przez wyznaczenie
współrzędnych dwóch wektorów wychodzących z jednego wierzchołka, te współrzędne
wektorów umieszczamy w wyznaczniku i obliczamy jego bezwzględną wartość


| 4 −1 |
Pole P = | | | | = 28
| 0 7 |

Podobnie wyznacza się pole trójkąta, z tym, że bierzemy ¹₂ bezwzględnej
wartości wyznacznika.