zad kon: wykaż prawdziwość wzoru dla kazdej liczby naturalnej

	n
12+22+32+.....+(2n−1)2=		(4n2−1)
	3

Basia: dowód indukcyjny ?

kon: tez mozna ale nie wiem jak go zaczepić

Basia: O.K. napiszę

Basia: 1⁰. dla n = 1 L = (2*1−1)² = 1² = 1

	1		1
P =		*(4*12−1} =		*3 = 1
	3		3

L = P dla n=1 tw.jest prawdziwe 2⁰. Założenie:

	n
12 + 22 +........+(2n−1)2 =		*(4n2 − 1)
	3

Teza:

	n+1
12 + 22+......+(2n−1)2+ (2n+1)2 =		*[4(n+1)2 − 1] =
	3

n+1		n+1
	*[4(n2 + 2n + 1) − 1] =		*[4n2 + 8n + 3]
3		3

dowód: L_tezy=1² + 2²+......+(2n−1)²+ (2n+1)² =

n
	*(4n2 − 1) + (2n+1)2 =
3

n(4n2−1) + 3(2n+1)2
	=
3

n(2n−1)(2n+1) + 3(2n+1)2
	=
3

(2n+1)[n(2n−1) + 3(2n+1)]
	=
3

(2n+1)(2n2 − n + 6n + 3)
	=
3

(2n+1)( 2n2 + 5n + 3 )
3

2n² + 5n + 3 = 0 Δ = 25 − 24 = 1 √Δ = 1

	−5 − 1		3
n1 =		= −U{6}(4} = −
	4		2

	−5+1
n2 =		= −1
	4

2n² + 5n + 3 = 2(n+³₂)(n+1) = (2n + 3)(n+1)

	(2n+1)(2n+3)(n+1)
Ltezy =		=
	3

n+1
	*[(2n+1)(2n+3)] =
3

n+1
	*(4n2 + 6n + 2n + 3) =
3

n+1
	*(4n2 + 8n + 3) = Ptezy
3

c.b.d.o.